Wurzel aus 2 ist irrational: Unterschied zwischen den Versionen
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==Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational== | ==Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational== | ||
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational.<br /> | |||
d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>. | |||
Beweis durch Widerspruch. <br /> | |||
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> = rational | |||
D.h. <math>\exists</math> p,q <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> : <math>\frac{p}{q}</math> = <math>\sqrt{2}</math> , mit p,q sind teilerfremd. <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> = 2 <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>p^2</math> = <math>2q^2</math> <br /> | |||
<math>p^2</math> ist gerade. <math>\Rightarrow</math> p=2n, mit n <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>(2n)^2</math> = <math>2q^2</math> <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>4n^2</math> = <math>2q^2</math> <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>2n^2</math> = <math>q^2</math> <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> q ist ebenfalls gerade <math>\Rightarrow</math> p und q sind nicht teilerfremd. <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> ist kürzbar. <br /> | |||
<math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{2}</math> = irrational <br /> | |||
Aktuelle Version vom 31. Oktober 2019, 07:48 Uhr
Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational
Annahme: ist rational.
d.h. .
Beweis durch Widerspruch.
Annahme: = rational
D.h. p,q : = , mit p,q sind teilerfremd.
= 2
=
ist gerade. p=2n, mit n
=
=
=
q ist ebenfalls gerade p und q sind nicht teilerfremd.
ist kürzbar.
= irrational
