Wurzel aus 2 ist irrational

Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational

Annahme: $ {\sqrt {2}} $ ist rational.
d.h. $ {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}},p,q\in \mathbb {N} $.

Beweis durch Widerspruch.
Annahme: $ {\sqrt {2}} $ = rational

D.h. $ \exists $ p,q $ \in $ $ \mathbb {N} $ : $ {\frac {p}{q}} $ = $ {\sqrt {2}} $ , mit p,q sind teilerfremd.

$ \Rightarrow $ $ {\frac {p^{2}}{q^{2}}} $ = 2
$ \Rightarrow $ $ p^{2} $ = $ 2q^{2} $
$ p^{2} $ ist gerade. $ \Rightarrow $ p=2n, mit n $ \in $ $ \mathbb {N} $
$ \Rightarrow $ $ (2n)^{2} $ = $ 2q^{2} $
$ \Rightarrow $ $ 4n^{2} $ = $ 2q^{2} $
$ \Rightarrow $ $ 2n^{2} $ = $ q^{2} $
$ \Rightarrow $ q ist ebenfalls gerade $ \Rightarrow $ p und q sind nicht teilerfremd.
$ \Rightarrow $ $ {\frac {p^{2}}{q^{2}}} $ ist kürzbar.
$ \Rightarrow $ $ {\sqrt {2}} $ = irrational