Aktuelle Version vom 28. April 2025, 18:52 Uhr

Es seien $A$ , $B$ , $C$ und $D$ vier paarweise verschiedene Punkte.
Beweisen Sie:
$\overline{C D} \subset \overline{A B} \Rightarrow \forall P \in \overline{C D} : Zw (A P B)$ .

Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.3

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $A, B$ und $C$ gilt:
Wenn $C \in A B^{+}$ und $| A B | < | A C |$ dann gilt $Z w (A, B, C)$

Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)

Aufgabe 5.4

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{A B}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A C}$ auf $A B^{+}$ mit $| A B | = \frac{1}{4} | A C |$ und $\overline{A B}$ $\subset$ $\overline{A C}$

Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)

Weitere Aufgabe zur Inzidenz

Aufgabe 5.5

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).

Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-[[Sommersemester_2012]]<br />
-[[Test]] <br />
-[[Widget:Twitter Search]]
-<ggb_applet width="1150" height="576"  version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
-[[Übung 13.05.11]]
-[[Punkte, Geraden, Ebenen]]
+[[Ablage]]<br />
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+[[Memory]]<br />
-<br /><br />
+[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe_SoSe_17]]<br />
-[[Pasch]]
+[[TÜ_27_04_18]]<br />
+[[TÜ_04_05_18]]<br />
+[[TÜ Algebra 01]]
+[[TÜ021118]]
-[[HDV]]
+[[ Übung 00 ]]<br />
-[[Spiegelung_00]]
+[[dreielementige Gruppe]]
+[[Schreibumgebung]]<br />
+[[Elementare Funktionen]]<br />
-== Axiome von Moise/Downs ==
+[[Didaktik der Bruchrechnung]]<br />
-* Inzidenzaxiome:
+[[Allgemeiner Teil]]<br />
-=====Axiom I.0:=====
+[[Indoorcycling gegen Prüfungsangst]]
-:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.
+[[2013]]
+[[Quiz_Definition_1]]
-=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
+[[Quiz_Definition_2]]
-:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
-=====Axiom I.2:=====
+[[Quiz_Definition_3]]
-:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.
-=====Axiom I.3:=====
+[[Ellipse]]
-:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.
+[[Schreibtest_mg]]
+[[Sommersemester_2012]]<br />
+[[Test]] <br />
+[[Zwischenspeicher]]
+[[TKS]]
+[[Vorlage Aufgabe]]
+=Aufgaben zum Abstand=
-=====Axiom I.4:=====
+==Aufgabe 5.1==
-:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.
+<u>'''Satz:'''</u>
+::Es seien <math>A,B</math> und <math>C</math> drei paarweise verschiedene Punkte.<br />
+::Wenn der Punkt <math>B</math> zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math> liegt, dann liegt weder <math>A</math> zwischen <math>B</math> und <math>C</math> noch <math>C</math> zwischen <math>A</math> und <math>B</math>.
+Beweisen Sie diesen Satz.
-=====Axiom I.5:=====
+<br />
-:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.
+[[Lösung von Aufgabe 5.1_S (WS_12_13)]]
-=====Axiom I.6:=====
+==Aufgabe 5.2==
-:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.
+Es seien <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> vier paarweise verschiedene Punkte. <br />
+Beweisen Sie:<br />
+<math>\overline{CD} \subset \overline{AB} \Rightarrow \forall P \in \overline{CD}: \operatorname{Zw}(APB)</math>.
-=====Axiom I.7:=====
-:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.
-* Abstandsaxiome:
-===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
+<br /><br />
-:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.
+[[Lösung von Aufgabe 5.2_S (WS_12_13)]]
-===== Axiom II.2: =====
+==Aufgabe 5.3==
-:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.
+Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt:<br />
+Wenn <math> C \in \ AB^{+} </math> und <math>\left| AB \right| < \left| AC \right| </math> dann gilt <math>\operatorname Zw (A, B, C) </math>
-===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
+<br />
-:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
+[[Lösung von Aufgabe 5.3_S (WS_12_13)]]
-:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:
-:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
+==Aufgabe 5.4==
-:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
+Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB} </math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AC} </math> auf <math>\ AB^{+} </math> mit <math>\left| AB \right| = \frac{1}{4} \left| AC \right| </math> und <math>\overline{AB} </math> <math> 	\subset</math>  <math>\overline{AC} </math>
-:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math><br />
+<br />
-:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.
-===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
+<br /><br />
-:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.
+[[Lösung von Aufgabe 5.4_S (WS_12_13)]]
-===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
-:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
-==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
-::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.
-==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
-:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl  <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>
-==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
-::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.
-==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
-::Nebenwinkel sind supplementär.
-==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
-::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen
-:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
-:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
-:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
-::gelten,<br />
-::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.
-==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
+=Weitere Aufgabe zur Inzidenz=
-::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
-<ggb_applet width="543" height="509"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
+== Aufgabe 5.5 ==
+Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4).<br /><br />
+[[Lösung von Aufg. 5.5_S (WS_12_13)]]<br />
+<br />

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