Lösung von Aufg. 7.9: Unterschied zwischen den Versionen

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== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC) ==
<u>'''Satz in ''wenn-dann'':'''</u><br />
::Wenn drei paarweise verschiedene Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
<u>'''Beweis'''</u><br />
Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte.<br />
<u>'''Voraussetzungen:'''</u>
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)
<u>'''Behauptung'''</u><br />
::es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es gilt eine der drei Gleichungen:
<br /><math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
<br /><math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| (I), Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| (II), Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
<br /> Annahme: es gilt o.B.d.A. <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B  \right \}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (IV), (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
<br /><math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (VIII), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
<br />--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.
|
|}
==vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge==
<u>'''Satz:'''</u>
<u>'''Satz:'''</u>
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.<br />
Beweisen Sie diesen Satz.<br />


Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br />
<u>Vor</u>: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)<br />
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br />
<u>Behauptung:</u> Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)<br />


Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und  Zw(A,C,B)<br />
<u>Annahme</u>: o.B.d.A Zw(A,B,C) und  Zw(A,C,B)<br />


1) AB+BC=AC und AC+CB=AB___________________laut Annahme und Def. Zw<br />
1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3<br />
2) AB+BC+CB=AB_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)<br />
3) AB+BC+BC=AB____________________________Axiom A/2 und 2)<br />
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)<br />
4) 2BC =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)<br />
5) B=C___________________________________4)<br />
5) B=C___________________________________4)<br />
6) Widersruch zur Vor.<br />
6) Widerspruch zur Vor.<br />
7) Annahme ist zu verwerfen<br />
7) Annahme ist zu verwerfen<br />
8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)
8) Behauptung stimmt--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)


[[Category:Einführung_Geometrie]]
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2010, 14:05 Uhr

Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei paarweise verschiedene Punkte  A,B und  C kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also  A,B und  C drei Punkte.
Voraussetzungen: koll( A,B und  C)


Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: zw⁡{A,B,C} oder zw⁡{A,C,B} oder zw⁡{B,A,C}
Beweis
Nr. Beweisschritt Begründung
(I) koll⁡{A,B,C} Voraussetzung
(II) es gilt eine der drei Gleichungen:


|AB|+|BC|=|AC|
|AC|+|CB|=|AB|
|BA|+|AC|=|BC|

(I), Axiom II/3
(III) zw⁡{A,B,C} oder zw⁡{A,C,B} oder zw⁡{B,A,C} (II), Def (Zwischenrelation)
(IV) zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen


Annahme: es gilt o.B.d.A. zw⁡{A,B,C} und zw⁡{A,C,B}

(V) |AB|+|BC|=|AC|


|AC|+|CB|=|AB|

(IV), (Axiom II/3)
(VI) |AB|+|BC|=|AC|


|AB|−|CB|=|AC|

rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII) |AB|+|BC|=|AB|−|BC| (VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII) |AB|+2|BC|=|AB| (VII), + |BC|
(IX)  2|BC|=0 (VIII), - |AB|
(X) Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.


--> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten  A,B und  C ein und derselben Geraden  g liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)

Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)

1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)

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