Lösung von Aufg. 7.9

Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei paarweise verschiedene Punkte $A,B$ und $C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also $A,B$ und $C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($A,B$ und $C$)

Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: $\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{koll}\{A,B,C\}$	Voraussetzung
(II)	es gilt eine der drei Gleichungen: $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$ $\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$	(I), Axiom II/3
(III)	$\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ oder $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$ oder $\mathrm{zw}\{B,A,C\}$	(II), Def (Zwischenrelation)
(IV)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt o.B.d.A. $\mathrm{zw}\{A,B,C\}$ und $\mathrm{zw}\{A,C,B\}$
(V)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$	(IV), (Axiom II/3)
(VI)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ $\left|AB\right|-\left|CB\right|=\left|AC\right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII)	$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|-\left|BC\right|$	(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII)	$\left|AB\right|+2\left|BC\right|=\left|AB\right|$	(VII), + $\left|BC\right|$
(IX)	$2\left|BC\right|=0$	(VIII), - $\left|AB\right|$
(X)	Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A,B$ und $C$ ein und derselben Geraden $g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)

Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)

1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)