Lösung von Aufgabe 7.3

Der Punkt $B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, dass $\left|AB\right|>\left|BC\right|$ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}$, dann $\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Die nachfolgende Lösung von Sternchen ist super ausführlich und korrekt, also wirklich eine Musterlösung - Großes LOB!!! --Schnirch 10:25, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung:

1) $\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|BC|}$

2) $|AB|+|BC|=|AC|$

Behauptung:

$\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Beweis:

(2) $|AB|+|BC|=|AC|$

$\Rightarrow |BC|=|AC|-|AB|$

eingesetzt in (1) folgt daraus

$\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|AC|-|AB|}|\cdot |AB|\cdot (|AC|-|AB|)$

$\Rightarrow |AC|\cdot (|AC|-|AB|)=|AB{|}^2|-|AB{|}^2$

$\Rightarrow |AC{|}^2-|AB|\cdot |AC|-|AB{|}^2=0$

Mit der p,q-Formel folgt daraus

$|AC{|}_{1/2}=\frac{|AB|}{2}\pm \sqrt{\frac{|AB{|}^2}{4}+|AB{|}^2}$

Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.

$\Rightarrow |AC|=\frac{|AB|}{2}+\sqrt{\frac{5\cdot |AB{|}^2}{4}}$

$\Rightarrow |AC|=\frac{|AB|}{2}+\frac{|AB|}{2}\cdot \sqrt{5}$

$\Rightarrow |AC|=\frac{|AB|}{2}\cdot (1+\sqrt{5})$

$\Rightarrow |AC|=|AB|\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}|:|AB|$

$\Rightarrow \frac{|AC|}{|AB|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

q.e.d --Sternchen 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)