Lösung von Aufgabe 7.3

Der Punkt $ \ B $ möge die Strecke $ {\overline {AC}} $ derart in die Teilstrecken $ {\overline {AB}} $ und $ {\overline {BC}} $ teilen, dass $ \left|AB\right|>\left|BC\right| $ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $ {\frac {\left|AC\right|}{\left|AB\right|}}={\frac {\left|AB\right|}{\left|BC\right|}} $, dann $ {\frac {\left|AC\right|}{\left|AB\right|}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} $.

Die nachfolgende Lösung von Sternchen ist super ausführlich und korrekt, also wirklich eine Musterlösung - Großes LOB!!! --Schnirch 10:25, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung:

1) $ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {|AB|}{|BC|}} $

2) $ \ |AB|+|BC|=|AC| $

Behauptung:

$ {\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}} $

Beweis:

(2) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ |AB| + |BC| = |AC|

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |BC| = |AC| - |AB|

eingesetzt in (1) folgt daraus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AB|}{|AC| - |AB|} \ \ \ \ \ | \ \cdot |AB| \cdot(|AC| - |AB|)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |AC| \cdot (|AC| - |AB|) = |AB|^2 \ \ \ \ \ | \ -|AB|^2

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |AC|^2 - |AB| \cdot |AC| - |AB|^2 = 0

Mit der p,q-Formel folgt daraus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |AC|_{1/2} = \frac{|AB|}{2} \pm \sqrt{\frac{|AB|^2}{4} + |AB|^2}

Die 2. Lösung mit negativem Vorzeichen fällt weg.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |AC| = \frac{|AB|}{2} + \sqrt{ \frac{5 \cdot |AB|^2}{4} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |AC| = \frac{|AB|}{2} + \frac{|AB|}{2} \cdot \sqrt{5}

$ \Rightarrow \ \ |AC|={\frac {|AB|}{2}}\cdot (1+{\sqrt {5}}) $

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ |AC| = |AB| \cdot \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2} \ \ \ \ \ | \ : |AB|

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \ \ \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{ 1 + \sqrt{5} }{2}

q.e.d --Sternchen 17:05, 10. Jun. 2010 (UTC)