Benutzer:Spannagel/Quiz9: Unterschied zwischen den Versionen

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{ In welchen Fällen ist der Begriff des Mittelpunkts einer Strecke mathematisch korrekt definiert worden?}
{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math> ?}
- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist ein Punkt der mitten auf der Strecke sitzt.
- <math>\exist g \in \mathcal{G}. \forall A,P \in \mathcal{M}: A, P \in g</math>
|| was heißt mitten auf der Strecke?
|| Formulieren Sie die Aussage einmal natürlichsprachlich. Was bedeutet sie?
- Der Mittelpunkt <math>\ M</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ergibt sich aus der Schnittmenge der beiden Halbgeraden <math>\ AB^+ </math> und <math>\ AB^- </math>.
+ <math>\neg \exist A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \in g</math>
|| es geht um Strecken, nicht um Geraden oder Halbgeraden.
|| Sehr gut! Sind Sie der Geist, der stets verneint?
- Ein Punkt <math>\ M</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
- <math>\forall g \in \mathcal{G}. \exist A,P \in \mathcal{M}: A, P \not \in g</math>
|| Ein solcher Punkt könnte auch außerhalb der Strecke <math>\overline{AB}</math> liegen - warum?
|| Ja oder nein - das ist hier die Frage.
+ Ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.
- <math>\forall A,P \in \mathcal{M}. \neg \exist g \in \mathcal{G}: A, P \not \in g</math>
|| so ist es korrekt!
|| Was nun: Gibt es jetzt mindestens eine Gerade, oder soll das für alle Geraden gelten?
+ Wenn für einen Punkt <math>\ M</math> gilt: <math>\ M \in \overline{AB}</math> mit: <math> \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>, dann heißt <math>\ M</math> Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>.
|| so klappt es auch!


{Welche der folgenden Aussagen ist zu folgendem Satz äquivalent:  
{ <math>\mathcal{M}</math> sei die Menge der Punkte <math>\ A, B, C</math>. Was ist die Negation der Aussage <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \not\equiv Y</math> ?}
Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann hat es genau einen Umkreis.}
- <math>\exist X \in \mathcal{M}.\forall Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Es gibt Dreiecke mit Umkreisen.
|| Wenn Sie es nicht ganz so umständlich ausdrücken, kommen Sie auf eine andere falsche Aussage hier in dieser Auswahl.
|| aber nicht alle müssen genau einen Umkreis haben!
- <math>\forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- zu allen Kreisen existiert genau ein Dreieck.
|| Muss es denn eine Dreierbeziehung sein?
|| das ist offensichtlich Unsinn.
+ <math>\exist X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Jedes n-Eck mit genau einem Umkreis ist ein Dreieck.
|| Richtig! Es gibt sie also doch, wenn man nur etwas negativ denkt!
|| das ist die Umkehrung der ursprünglichen Aussage und außerdem nicht wahr.
- <math>\neg \forall X, Y \in \mathcal{M} : X \equiv Y</math>
- Es existieren Dreiecke, die einen Umkreis haben.
|| Oft ist es einfach ein Strich zu wenig.
|| wo ist die Eindeutigkeit?
- Es existieren Umkreise.
|| ohne Worte!
+ hat ein n-Eck keinen oder mehr als einen Umkreis, dann ist es kein Dreieck.
|| dies ist die Kontraposition der oben genannten Aussage und damit äquivalent zu dieser!


{Wie lautet die korrekte "Wenn-Dann-Form" der folgenden Implikation?
{ Seien <math>\mathcal{M}</math> die Menge aller Punkte und <math>\mathcal{G}</math> die Menge von drei Geraden <math>\ g, h, i</math>. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?}
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°.}
- <math>\exist x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \and P \in y</math>
 
|| Die Aussage, die Sie suchen, sollte nicht die Option für Extrawürste enthalten!
- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks 180° beträgt, so ist es ein Dreieck.
+ <math>\forall x,y \in \mathcal{G}. \neg \exist P \in \mathcal{M} : \neg P \in x \or \neg P \in y</math>
|| die Umkehrung lässt grüßen.
|| Stimmt. Ganz schön gemein, oder?
- Genau dann wenn ein Dreieck gegeben ist, beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
- <math>\forall x,y \in \mathcal{G}.\exist P \in \mathcal{M} : P \in x \or P \in y</math>
|| hier wird eine Äquivalenz formuliert.
|| Entweder oder? Oder beides? Oder was?
+ Wenn ein Dreieck gegeben ist, dann beträgt seine Innenwinkelsumme 180°.
- <math>\exist P \in \mathcal{M}.\forall x,y \in \mathcal{G}. : P \in x \and P \in y</math>
|| so ist es korrekt!
|| Sie haben von Dreiecken wohl schon genug?
- Wenn die Innenwinkelsumme eines n-Ecks keine 180° beträgt, dann ist das n-Eck kein Dreieck.
|| es handelt sich hier um die Kontraposition.




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Aktuelle Version vom 15. Juni 2010, 23:00 Uhr

  

1 Seien ℳ die Menge aller Punkte und 𝒢 die Menge aller Geraden. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage ∀A,P∈ℳ.∃g∈𝒢:A,P∈g ?

∃g∈𝒢.∀A,P∈ℳ:A,P∈g
¬∃A,P∈ℳ.¬∃g∈𝒢:A,P∈g
∀g∈𝒢.∃A,P∈ℳ:A,P∉g
∀A,P∈ℳ.¬∃g∈𝒢:A,P∉g

2 ℳ sei die Menge der Punkte  A,B,C. Was ist die Negation der Aussage ∀X,Y∈ℳ:X≢Y ?

∃X∈ℳ.∀Y∈ℳ:X≡Y
∀X,Y∈ℳ:X≡Y
∃X,Y∈ℳ:X≡Y
¬∀X,Y∈ℳ:X≡Y

3 Seien ℳ die Menge aller Punkte und 𝒢 die Menge von drei Geraden  g,h,i. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Aussage "Je zwei von drei Geraden haben mindestens einen Punkt gemeinsam."?

∃x,y∈𝒢.∃P∈ℳ:P∈x∧P∈y
∀x,y∈𝒢.¬∃P∈ℳ:¬P∈x∨¬P∈y
∀x,y∈𝒢.∃P∈ℳ:P∈x∨P∈y
∃P∈ℳ.∀x,y∈𝒢.:P∈x∧P∈y

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