Pfeilklassen

Pfeilklassen

Definition

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Pfeil $ {\vec {AB}} $
Es seien $ A $ und $ B $ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $ {\vec {AB}} $ ist das geordnete Paar $ (A,B) $. $ A $ heißt Anfangspunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $, $ B $ heißt Endpunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $ {\overline {AB}} $. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $ {\vec {o}} $. Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Definition

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Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ heißen parallelgleich, wenn gilt:

1. $ |AB|=|CD| $
2. $ AB\||CD $
3. $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ sind gleichorientiert.

Satz

Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

D.h. $ {\vec {a}} $ ist parallelgleich($ \sim $) zu $ {\vec {b}} $, wenb gilt:
a) Reflexivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {a}} $
b) Symmetrie: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\Rightarrow {\vec {b}}\sim {\vec {a}} $
c) Transitivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\wedge {\vec {b}}\sim {\vec {c}}\Rightarrow {\vec {a}}\sim {\vec {c}} $

Definition

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Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse $ {\vec {u}} $ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $ {\vec {u}} $ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$ {\vec {u}}=\left\{{\vec {x}}|{\vec {x}}\sim {\vec {u}}\right\} $

Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen

Für beliebige Pfeilklassen $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}} $ gilt:

i) $ {\vec {u}},{\vec {v}} $ gilt $ {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}} $ (Kommuntativität der Addition)

ii) $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V $ gilt $ ({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}={\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}}) $ (Assoziativität der Addition)

iii) Es existiert eine Pfeilklasse $ {\vec {0}} $, sodass gilt $ {\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}} $ (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)

iv) Zu jedem $ {\vec {u}} $ existiert ein $ -{\vec {u}} $ mit $ {\vec {u}}+(-{\vec {u}})={\vec {o}} $ (inverses Element)

Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren

Für beliebige Pfeilklassen $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}} $ und beliebige $ \lambda ,\mu \in \mathbb {R} $ gilt:

i) $ 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}} $ (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)

ii) $ (\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {u}}=\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {u}}) $ (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

iii)$ \lambda \cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda \cdot {\vec {u}}+\lambda \cdot {\vec {v}} $ (1.Distributivgesetz)

iv) $ (\lambda +\mu )\cdot {\vec {u}}=\lambda \cdot {\vec {u}}+\mu \cdot {\vec {u}} $ (2.Distributivgesetz)