Pfeilklassen

Pfeilklassen

Definition

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Pfeil $\overrightarrow{AB}$
Es seien $A$ und $B$ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $\overrightarrow{AB}$ ist das geordnete Paar $(A,B)$. $A$ heißt Anfangspunkt des Pfeils $\overrightarrow{AB}$, $B$ heißt Endpunkt des Pfeils $\overrightarrow{AB}$. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $\overrightarrow{o}$. Zwei Pfeile $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Definition

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Zwei Pfeile $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ heißen parallelgleich, wenn gilt:

1. $|AB|=|CD|$
2. $AB\Vert |CD$
3. $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ sind gleichorientiert.

Satz

Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

D.h. $\overrightarrow{a}$ ist parallelgleich($\sim$) zu $\overrightarrow{b}$, wenb gilt:
a) Reflexivität: $\overrightarrow{a}\sim \overrightarrow{a}$
b) Symmetrie: $\overrightarrow{a}\sim \overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{b}\sim \overrightarrow{a}$
c) Transitivität: $\overrightarrow{a}\sim \overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{b}\sim \overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{a}\sim \overrightarrow{c}$

Definition

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Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse $\overrightarrow{u}$ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $\overrightarrow{u}$ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$\overrightarrow{u}=\{\overrightarrow{x}|\overrightarrow{x}\sim \overrightarrow{u}\}$

Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen

Für beliebige Pfeilklassen $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ gilt:

i) $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ gilt $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ (Kommuntativität der Addition)

ii) $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V$ gilt $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$ (Assoziativität der Addition)

iii) Es existiert eine Pfeilklasse $\overrightarrow{0}$, sodass gilt $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{u}$ (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)

iv) Zu jedem $\overrightarrow{u}$ existiert ein $-\overrightarrow{u}$ mit $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{o}$ (inverses Element)

Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren

Für beliebige Pfeilklassen $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ und beliebige $\lambda ,\mu \in \mathbb{ℝ}$ gilt:

i) $1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)

ii) $(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{u}=\lambda \cdot (\mu \cdot \overrightarrow{u})$ (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

iii)$\lambda \cdot (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda \cdot \overrightarrow{u}+\lambda \cdot \overrightarrow{v}$ (1.Distributivgesetz)

iv) $(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{u}=\lambda \cdot \overrightarrow{u}+\mu \cdot \overrightarrow{u}$ (2.Distributivgesetz)