Pfeilklassen

Pfeilklassen

Definition

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Pfeil $\vec{AB}$
Es seien $A$ und $B$ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $\vec{AB}$ ist das geordnete Paar $(A,B)$. $A$ heißt Anfangspunkt des Pfeils $\vec{AB}$, $B$ heißt Endpunkt des Pfeils $\vec{AB}$. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $\overline{AB}$. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $\vec{o}$. Zwei Pfeile $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Definition

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Zwei Pfeile $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ heißen parallelgleich, wenn gilt:

1. $|AB|=|CD|$
2. $AB \|| CD$
3. $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ sind gleichorientiert.

Satz

Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.

D.h. $\vec{a}$ ist parallelgleich($\sim$) zu $\vec{b}$, wenb gilt:
a) Reflexivität: $\vec{a} \sim \vec{a}$
b) Symmetrie: $\vec{a} \sim \vec{b} \Rightarrow \vec{b} \sim \vec{a}$
c) Transitivität: $\vec{a} \sim \vec{b} \wedge \vec{b} \sim \vec{c}\Rightarrow \vec{a} \sim \vec{c}$

Definition

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Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse $\vec{u}$ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $\vec{u}$ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$\vec{u}=\left\{\vec{x}| \vec{x} \sim \vec{u}\right\}$

Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen

Für beliebige Pfeilklassen $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ gilt:

i) $\vec{u},\vec{v}$ gilt $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (Kommuntativität der Addition)

ii) $\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in V$ gilt $(\vec{u}+\vec{v})+ \vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+ \vec{w})$ (Assoziativität der Addition)

iii) Es existiert eine Pfeilklasse $\vec{0}$, sodass gilt $\vec{u}+ \vec{0}= \vec{u}$ (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)

iv) Zu jedem $\vec{u}$ existiert ein $-\vec{u}$ mit $\vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o}$ (inverses Element)

Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren

Für beliebige Pfeilklassen $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ und beliebige $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ gilt:

i) $1\cdot\vec{u} =\vec{u}$ (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)

ii) $(\lambda \cdot \mu)\cdot \vec{u}= \lambda\cdot(\mu\cdot \vec{u})$ (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

iii)$\lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} +\lambda \cdot \vec{v}$ (1.Distributivgesetz)

iv) $(\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}$ (2.Distributivgesetz)