Pfeilklassen: Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 23. Mai 2013, 13:16 Uhr
Pfeilklassen
Definition
Pfeil $ {\vec {AB}} $
Es seien $ A $ und $ B $ zwei (nicht notwendigerweise) verschiedene Punkte. Der Pfeil $ {\vec {AB}} $ ist das geordnete Paar $ (A,B) $. $ A $ heißt Anfangspunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $, $ B $ heißt Endpunkt des Pfeils $ {\vec {AB}} $. Jedem Pfeil ist eine Punktmenge zugehörig, Es handelt sich dabei um die Menge der Punkte der Strecke $ {\overline {AB}} $. Sollte der Anfangspunkt eines Pfeils mit dem Endpunkt dieses Pfeils zusammenfallen spricht man vom Nullpfeil $ {\vec {o}} $. Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ haben einen Punkt gemeinsam falls ihre Punktmengen einen Punkt gemeinsam haben.
Definition
Zwei Pfeile $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ heißen parallelgleich, wenn gilt:
- $ |AB|=|CD| $
- $ AB\||CD $
- $ {\vec {AB}} $ und $ {\vec {CD}} $ sind gleichorientiert.
Satz
Die Relation parallelgleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile des Raumes bzw. der Ebene.
D.h. $ {\vec {a}} $ ist parallelgleich($ \sim $) zu $ {\vec {b}} $, wenb gilt:
a) Reflexivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {a}} $
b) Symmetrie: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\Rightarrow {\vec {b}}\sim {\vec {a}} $
c) Transitivität: $ {\vec {a}}\sim {\vec {b}}\wedge {\vec {b}}\sim {\vec {c}}\Rightarrow {\vec {a}}\sim {\vec {c}} $
Definition
Eine Pfeilklasse ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Äquivalenzrelation parallelgleich,
d.h, mit der Pfeilklasse $ {\vec {u}} $ bezeichnet man die Menge aller zu dem Pfeil $ {\vec {u}} $ parallelgleicen Pfeile der Ebene bzw. des Raumes:
$ {\vec {u}}=\left\{{\vec {x}}|{\vec {x}}\sim {\vec {u}}\right\} $
Rechenregeln der Addition von Pfeilklassen
Für beliebige Pfeilklassen $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}} $ gilt:
i) $ {\vec {u}},{\vec {v}} $ gilt $ {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}} $ (Kommuntativität der Addition)
ii) $ {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in V $ gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\vec{u}+\vec{v})+ \vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+ \vec{w}) (Assoziativität der Addition)
iii) Es existiert eine Pfeilklasse Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{0} , sodass gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}+ \vec{0}= \vec{u} (neutrales Element bzgl. der Addition, Nullpfeilklasse)
iv) Zu jedem Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u} existiert ein Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): -\vec{u} mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}+ (-\vec{u})= \vec{o} (inverses Element)
Rechenregeln der Multiplikation von Pfeilklassen mit Skalaren
Für beliebige Pfeilklassen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} und beliebige Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda, \mu \in \mathbb{R} gilt:
i) $ 1\cdot {\vec {u}}={\vec {u}} $ (Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)
ii) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\lambda \cdot \mu)\cdot \vec{u}= \lambda\cdot(\mu\cdot \vec{u}) (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)
iii)Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda \cdot (\vec{u}+\vec{v})=\lambda \cdot \vec{u} +\lambda \cdot \vec{v} (1.Distributivgesetz)
iv) Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\lambda + \mu)\cdot \vec{u}=\lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u} (2.Distributivgesetz)
