Lösung von Aufgabe 10.3: Unterschied zwischen den Versionen
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==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:14, 21. Jul. 2010 (UTC)== | |||
Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts, existiert zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> genau ein Mittelpunkt <math>\ M </math>. Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten zu einer Geraden <math>\ g </math> durch einen beliebigen Punkt <math>\ P \in g </math> existiert genau eine Senkrechte auf eine Gerade <math>\ AB </math> durch den Mittelpunkt <math>\ M </math> der Strecke <math>\overline{AB} </math>. Diese existierende und eindeutige Senkrechte ist nach Definition die Mittelsenkrechte durch den Punkt <math>\ M </math> auf <math>\overline{AB} </math>. | |||
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Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte. | Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte. | ||
Als Voraussetzung ist die Strecke math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. <br /> | Als Voraussetzung ist die Strecke <math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. <br /> | ||
Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math>eine Gerade <math>m</math>gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.<br /> | Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math> eine Gerade <math>m</math> gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke <math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.<br /> | ||
(1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. <br /> | (1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. <br /> | ||
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt. | (2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.<br /> | ||
(3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.<br /> | (3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.<br /> | ||
(4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>.<br /> | (4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>.<br /> | ||
Aktuelle Version vom 21. Juli 2010, 13:14 Uhr
Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (in Formelschreibweise)
Lösung--Schnirch 13:14, 21. Jul. 2010 (UTC)
Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts, existiert zu jeder Strecke genau ein Mittelpunkt . Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten zu einer Geraden durch einen beliebigen Punkt existiert genau eine Senkrechte auf eine Gerade durch den Mittelpunkt der Strecke . Diese existierende und eindeutige Senkrechte ist nach Definition die Mittelsenkrechte durch den Punkt auf .
vorangegangene Diskussion
Beweis Versuch 1:
Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Als Voraussetzung ist die Strecke , die Ebene E zu benennen.
Nun ist zu zeigen, dass es in eine Gerade gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.
(1) Es gibt ein Punkt , der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden .
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt auf der Strecke , nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.
(3) Es existiert ein Punkt in der Halbebenen und somit ein genau ein Strahl . Der Winkel hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.
(4) Die Gerade ist Mittelsenkrechte der Strecke .
Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt.
qed --Löwenzahn 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)
