Lösung von Aufgabe 10.3

Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (in Formelschreibweise)

Lösung--Schnirch 13:14, 21. Jul. 2010 (UTC)

Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts, existiert zu jeder Strecke $ {\overline {AB}} $ genau ein Mittelpunkt $ \ M $. Nach dem bereits bewiesenen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten zu einer Geraden $ \ g $ durch einen beliebigen Punkt $ \ P\in g $ existiert genau eine Senkrechte auf eine Gerade $ \ AB $ durch den Mittelpunkt $ \ M $ der Strecke $ {\overline {AB}} $. Diese existierende und eindeutige Senkrechte ist nach Definition die Mittelsenkrechte durch den Punkt $ \ M $ auf $ {\overline {AB}} $.

Beweis Versuch 1:

Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke $ {\overline {AB}} $, die Ebene E zu benennen.
Nun ist zu zeigen, dass es in $ E $ eine Gerade $ m $ gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke $ {\overline {AB}} $ ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt.

(1) Es gibt ein Punkt $ Q $, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden $ AB $.
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt $ M $ auf der Strecke $ {\overline {AB}} $, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt.
(3) Es existiert ein Punkt $ P $in der Halbebenen $ AB,Q^{+} $ und somit ein genau ein Strahl $ MP^{+} $. Der Winkel $ \angle PMB $ hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom.
(4) Die Gerade $ PM $ ist Mittelsenkrechte der Strecke $ {\overline {AB}} $.

Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt.

qed --Löwenzahn 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)