Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements: Unterschied zwischen den Versionen
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=Die Ordnung einer Gruppe= | =Die Ordnung einer Gruppe= | ||
==Definition (Gruppenordnung== | ==Definition (Gruppenordnung)== | ||
Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>|G|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>. | Es sei <math>[G, \odot]</math> eine Gruppe. Unter der Ordnung <math>|G|</math> von <math>[G, \odot]</math> versteht man die Anzahl der Elemente der Menge <math>G</math>. | ||
==Beispiele== | ==Beispiele== | ||
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===Beispiele=== | ===Beispiele=== | ||
====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>==== | ====Beispiel 1: <math>[\mathbb{Z}_5 , \oplus]</math>==== | ||
<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math> | *<math>\overline{2}^3=\overline{2} \oplus \overline{2} \oplus \overline{2}= \overline{2+2+2} = \overline{6}= \overline{1}</math><br /> | ||
*<math>\overline{2}^{-3}=\overline{3}^3=\overline{3} \oplus \overline{3} \oplus \overline{3} = \overline{3+3+3} = \overline{9} = \overline{4}</math> | |||
==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z \geq 0</math>== | |||
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe mit dem Neutralelement <math>n</math>. Für beliebige Elemente <math>g \in G</math> und ganze Zahlen <math>z \geq 0</math> definieren wir: | |||
# <math>g^z:=n ~falls~ z=0</math> | |||
# <math>g^z:=g^{z-1}\oplus g ~ falls ~ z > 0</math> | |||
==Definition Potenz <math>g^z</math> eines Gruppenelements für <math>z \in \mathbb{Z}, z < 0</math>== | |||
Es sei <math>[G, \oplus]</math> eine Gruppe und <math>z \in \mathbb{Z}, z <0</math>. Ferner sei <math>g</math> eine beliebiges Gruppenelement und <math>g^{-1}</math> sein Inverses in <math>[G, \oplus]</math>. | |||
#<math>g^z:=g^{-1} ~falls~ z=-1</math> | |||
#<math>g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1} ~ falls ~ z < -1</math> | |||
=Die Ordnung eines Gruppenelements= | |||
==Definition (Ordnung eines Gruppenelements)== | |||
Es sei <math>[G,\odot ]</math> eine Gruppe. | |||
Die Ordnung eines Elements <math>g\isin G</math> ist die kleinste natürliche Zahl <math>n</math> für die gilt: | |||
<math>g^{n}=e</math> | |||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | ||
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</div> | </div> | ||
[[Kategorie:Algebra]] | [[Kategorie:Algebra]] | ||
Aktuelle Version vom 13. Juli 2018, 17:11 Uhr
Die Ordnung einer GruppeDefinition (Gruppenordnung)Es sei eine Gruppe. Unter der Ordnung von versteht man die Anzahl der Elemente der Menge . BeispielePotenzschreibweisen in GruppenAus der Schule bekanntPotenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt: Verallgemeinerung auf beliebige GruppenBeispieleBeispiel 1:Definition Potenz eines Gruppenelements fürEs sei eine Gruppe mit dem Neutralelement . Für beliebige Elemente und ganze Zahlen definieren wir: Definition Potenz eines Gruppenelements fürEs sei eine Gruppe und . Ferner sei eine beliebiges Gruppenelement und sein Inverses in . Die Ordnung eines GruppenelementsDefinition (Ordnung eines Gruppenelements)Es sei eine Gruppe. Die Ordnung eines Elements ist die kleinste natürliche Zahl für die gilt:
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