Gruppenordnung, Ordnung eines Gruppenelements

Die Ordnung einer Gruppe Definition (Gruppenordnung) Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe. Unter der Ordnung $|G|$ von $[G,\odot ]$ versteht man die Anzahl der Elemente der Menge $G$. Beispiele $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5,\oplus ]:|{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5|=5$ $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5,\odot ]:|{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5|=4$ $[\mathbb{\mathbb{Q}},+]:|\mathbb{\mathbb{Q}}|=\mathrm{\infty }$ Potenzschreibweisen in Gruppen Aus der Schule bekannt Potenzen sind aus der Schule bezüglich der Multiplikation reeller Zahlen bekannt: $3^5:=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243$ $5^{-3}:=5^{-1}\cdot 5^{-1}\cdot 5^{-1}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}=0,008$ $a^n:=\underset{n-mal}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}},,a\in \mathbb{ℝ},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ $a^{-n}:=\underset{n-mal}{\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot \dots \cdot a^{-1}}}=\frac{1}{\underset{n-mal}{\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}},a\in \mathbb{ℝ},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ Verallgemeinerung auf beliebige Gruppen Beispiele Beispiel 1: $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_5,\oplus ]$ $\stackrel{3}{\stackrel{‾}{2}}=\bar{2}\oplus \bar{2}\oplus \bar{2}=\overline{2+2+2}=\bar{6}=\bar{1}$ $\stackrel{-3}{\bar{2}}=\stackrel{3}{\stackrel{‾}{3}}=\bar{3}\oplus \bar{3}\oplus \bar{3}=\overline{3+3+3}=\bar{9}=\bar{4}$ Definition Potenz $g^z$ eines Gruppenelements für $z\in \mathbb{\mathbb{Z}},z\ge 0$ Es sei $[G,\oplus ]$ eine Gruppe mit dem Neutralelement $n$. Für beliebige Elemente $g\in G$ und ganze Zahlen $z\ge 0$ definieren wir: $g^z:=nfallsz=0$ $g^z:=g^{z-1}\oplus gfallsz>0$ Definition Potenz $g^z$ eines Gruppenelements für $z\in \mathbb{\mathbb{Z}},z<0$ Es sei $[G,\oplus ]$ eine Gruppe und $z\in \mathbb{\mathbb{Z}},z<0$. Ferner sei $g$ eine beliebiges Gruppenelement und $g^{-1}$ sein Inverses in $[G,\oplus ]$. $g^z:=g^{-1}fallsz=-1$ $g^z:=g^{z+1}\oplus g^{-1}fallsz<-1$ Die Ordnung eines Gruppenelements Definition (Ordnung eines Gruppenelements) Es sei $[G,\odot ]$ eine Gruppe. Die Ordnung eines Elements $g\in G$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$ für die gilt: $g^n=e$