Lösung von Aufg. 10.1

Es sei $\mathrm{E}$ eine Ebene, die durch die Gerade $g$ in die beiden Halbebenen $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ eingeteilt wird. Ferner sei $R$ ein Punkt der Halbebene $g{Q}^{-}$, der nicht auf der Trägergeraden $g$ liegen möge. Beweisen Sie: $g{R}^{+}\equiv g{Q}^{-}$ und $g{R}^{-}\equiv g{Q}^{+}$

Lösung ----Schnirch 13:52, 19. Jan. 2011 (UTC)

Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: ${gQ}^{+}$ und ${gQ}^{-}$; $R\in {gQ}^{-}$ mit $R\in ̸g$
Behauptung: 1) ${gR}^{+}\equiv {gQ}^{-}$ und 2) ${gR}^{-}\equiv {gQ}^{+}$, d. h. <br\> zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) $\mathrm{\forall }P\in {gQ}^{-}\Rightarrow P\in {gR}^{+}$ und b) $\mathrm{\forall }P\in {gR}^{+}\Rightarrow P\in {gQ}^{-}$<br\> sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)

Beweis zu 1a, Fall 1:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$P\in {gQ}^{-}$	nach Vor.
(II)	$\overline{PQ}\cap g\ne \{\}$	nach Definition Halbebene
(III)	$R\in {gQ}^{-}$	nach Vor.
(IV)	$\overline{RQ}\cap g\ne \{\}$	(III) und Definition Halbebene
(V)	$\overline{RP}\cap g=\{\}$	(II), (IV), Axiom v. Pasch
(VI)	$P\in {gR}^{+}$	(V) und Definition Halbebene

Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur
1b) analog zur hier vorgestellten Lösung
2) analog zu 1)