Lösung von Aufg. 10.1

Es sei $\ \Epsilon$ eine Ebene, die durch die Gerade $\ g$ in die beiden Halbebenen $\ gQ^+$ und $\ gQ^-$ eingeteilt wird. Ferner sei $\ R$ ein Punkt der Halbebene $\ gQ^-$ , der nicht auf der Trägergeraden $\ g$ liegen möge. Beweisen Sie: $\ gR^+ \equiv gQ^-$ und $\ gR^- \equiv gQ^+$

Lösung ----Schnirch 13:52, 19. Jan. 2011 (UTC)

Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: $\ {gQ}^{+}$ und $\ {gQ}^{-}$ ; $R \in {gQ}^{-}$ mit $R \not \in g$
Behauptung: 1) ${gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}$ und 2) ${gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}$ , d. h. <br\> zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) $\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}$ und b) $\forall P\in {gR}^{+} \Rightarrow P\in {gQ}^{-}$ <br\> sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)

Beweis zu 1a, Fall 1:

Beweis
Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\ P\in {gQ}^{-}$	nach Vor.
(II)	$\overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	nach Definition Halbebene
(III)	$\ R\in {gQ}^{-}$	nach Vor.
(IV)	$\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace$	(III) und Definition Halbebene
(V)	$\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace$	(II), (IV), Axiom v. Pasch
(VI)	$\ P\in {gR}^{+}$	(V) und Definition Halbebene