Lösung von Aufgabe 8.4 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Vor.: Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke und M der Mittelpunkt von $\overline{AB}$
Beh.: Es existiert höchstens ein Mittelpunkt
Ann.: Es existiert $M_2$ mit folgenden Eigenschaften: $M_2$ ist Mittelpukt von $\overline{AB}$ und $M_2$ ungleich $M$

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$Zw.(A,M,B)$	Vor., Def Mittelpunkt
(2)$Zw.(A,M_2,B)$	Ann.
(3) $\left|AM\right|+\left|MB\right|=\left|AB\right|$	(1),zw Relation
(4) $\left|AM\right|+\left|M_{2}B\right|=\left|AB\right|$	(2), zw Relation
(5)$M\ne M_2$	Ann.
(6) $\left|AM\right|+\left|MB\right|=\left|AM\right|+\left|M_{2}B\right|$	(3),(4), Rechen in R
(7) $\left|AM\right|=\left|MB\right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(8) $\left|A{M}_2\right|=\left|M_{2}B\right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(9) $2\left|AM\right|=\left|AB\right|$	(7)
(10) $2\left|A{M}_2\right|=\left|AB\right|$	(8)
(11) $2\left|AM\right|=2\left|A{M}_2\right|$	(10)
(12) $M=M_2$	(11) Axiom vom Lineal

--RicRic 00:05, 6. Dez. 2011 (CET)

Nicht alle Schritte kommen in einer Begründung vor. Also brauch man diese nicht, um zu Schritt 12 zu kommen. Was meint ihr?--Tutorin Anne 15:25, 7. Dez. 2011 (CET)

Also ist der Beweis richtig und ich kann Schritt (6) weglassen?--RicRic 20:46, 14. Dez. 2011 (CET)ja.--Tutorin Anne 16:05, 15. Dez. 2011 (CET)