Lösung von Aufg. 8.5 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aus Geometrie-Wiki
← Zum vorherigen VersionsunterschiedZum nächsten Versionsunterschied →
VisuellWikitext
Costa rica (Diskussion | Beiträge)
11 Bearbeitungen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 5: Zeile 5:
Vor: Es sind X und Y zwei konvexe Punktmengen.
Vor: Es sind X und Y zwei konvexe Punktmengen.


Beh: <math>\ X \cap Y</math> ist Konvex
Beh: <math>\ X \cap Y</math> ist Konvex<br />
1. Es seien A und B zwei Punkte aus der Schnittmenge X,Y    ( Vor.)
1. Es seien A und B zwei Punkte aus der Schnittmenge von X und Y    ( Vor.)


2. A, B Element X und A, B Element Y  und die Schnittmenge ist nicht leer  ( Vor.)
2. <math>A, B \in X \wedge A, B \in Y</math> und die Schnittmenge ist nicht leer  ( Vor.)


3. <math>\overline{AB}  c X und \overline{AB}  c von Y  (aus 2, vor., Def. konvexe Punktmengen)
3. <math>\overline{AB}  \subset X und \overline{AB}  \subset von Y  (aus 2, vor., Def. konvexe Punktmengen)
</math>
</math>


4. <math>\overline{AB}  c X und Y</math> ( 3, Def. Schnittmenge)
4. <math>\overline{AB}  \subset X \cap Y</math> ( 3, Def. Schnittmenge)


5. X geschnitten Y = konvex  (4, Def. konvexe Menge )
5. <math>X \cap Y</math> ist eine  konvexe Menge (4, Def. konvexe Menge )
--[[Benutzer:Costa rica|Costa rica]] 23:46, 5. Dez. 2011 (CET)
--[[Benutzer:Costa rica|Costa rica]] 23:46, 5. Dez. 2011 (CET)


Zeile 22: Zeile 22:
Finde den Beweis Übrigens gut und nachvollziehbar, bin mir aber nicht sicher ob er ausreicht. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:15, 6. Dez. 2011 (CET)
Finde den Beweis Übrigens gut und nachvollziehbar, bin mir aber nicht sicher ob er ausreicht. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:15, 6. Dez. 2011 (CET)


Also, X und Y sind je zwei konvexe Punktmengen. Zwei beliebige Punkte A und B liegen in X und in Y. Nach Def. konvex liegt dann auch die gesamte strecke AB in X. Das gleiche gilt für Y. Folglich ist die Schnittmenge X Y auch konvex. (Def. konvexe Punktmenge)--[[Benutzer:Costa rica|Costa rica]] 00:37, 9. Dez. 2011 (CET)
Also, X und Y sind je zwei konvexe Punktmengen. Zwei beliebige Punkte A und B liegen in X und in Y. Nach Def. konvex liegt dann auch die gesamte strecke AB in X. Das gleiche gilt für Y. Folglich ist die Schnittmenge X Y auch konvex. (Def. konvexe Punktmenge)--[[Benutzer:Costa rica|Costa rica]] 00:37, 9. Dez. 2011 (CET)<br />
 
 
Ich habe in dem Beweis die korekte Formelschreibweise eingefügt, damit dieser besser verständlich ist. Die Beschreibung von Costa rica hilf sonst auch weiter - danke! <br />
So kann man diesen Satz direkt beweisen. Allerdings geht der Beweis bestimmt auch indirekt, in dem man die Idee von RicRic verfolgt und einen Punkt P annimmt, der auf <math>\overline{AB}</math> liegt und nicht in der Schnittmenge von X und Y enthalten ist.<br />
Hier ist genug Platz, auch diesen Beweis zu führen - wer möchte sich versuchen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:53, 14. Dez. 2011 (CET)


[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Version vom 14. Dezember 2011, 12:53 Uhr

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Eine Punktmenge ist konvex, wenn für alle Punkte A und B der Punktmenge gilt, dass alle Punkte der Strecke AB Element der Punktmenge P sind.

Vor: Es sind X und Y zwei konvexe Punktmengen.

Beh:  X∩Y ist Konvex
1. Es seien A und B zwei Punkte aus der Schnittmenge von X und Y ( Vor.)

2. A,B∈X∧A,B∈Y und die Schnittmenge ist nicht leer ( Vor.)

3. AB‾⊂XundAB‾⊂vonY(aus2,vor.,Def.konvexePunktmengen)

4. AB‾⊂X∩Y ( 3, Def. Schnittmenge)

5. X∩Y ist eine konvexe Menge (4, Def. konvexe Menge ) --Costa rica 23:46, 5. Dez. 2011 (CET)


Woher weißt du dann, dass es zwischen den Punkten A und B auf der Strecke es nicht noch irgendeinen Punkt P gibt, der nicht in beiden Teilmengen ist?
Finde den Beweis Übrigens gut und nachvollziehbar, bin mir aber nicht sicher ob er ausreicht. --RicRic 17:15, 6. Dez. 2011 (CET)

Also, X und Y sind je zwei konvexe Punktmengen. Zwei beliebige Punkte A und B liegen in X und in Y. Nach Def. konvex liegt dann auch die gesamte strecke AB in X. Das gleiche gilt für Y. Folglich ist die Schnittmenge X Y auch konvex. (Def. konvexe Punktmenge)--Costa rica 00:37, 9. Dez. 2011 (CET)


Ich habe in dem Beweis die korekte Formelschreibweise eingefügt, damit dieser besser verständlich ist. Die Beschreibung von Costa rica hilf sonst auch weiter - danke!
So kann man diesen Satz direkt beweisen. Allerdings geht der Beweis bestimmt auch indirekt, in dem man die Idee von RicRic verfolgt und einen Punkt P annimmt, der auf AB‾ liegt und nicht in der Schnittmenge von X und Y enthalten ist.
Hier ist genug Platz, auch diesen Beweis zu führen - wer möchte sich versuchen?--Tutorin Anne 13:53, 14. Dez. 2011 (CET)

Abgerufen von „http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Lösung_von_Aufg._8.5_(WS_11/12)&oldid=10146“