Lösung von Aufgabe 6.5P (SoSe 12)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$
Im Enteffekt ist das doch nur wieder der Satz von Patsch ( seine Umkehrung ?) Ist ja wieder das Ebenenteilungsaxiom!oder? Denn wenn die Strecke AB g schneidet und die BC nicht geschnitten wird dann muss wegen des Satz von Patsch g die Streche AC schneiden!knechtk

die punkte sollen in diesem fall kollinear sein, also auf einer "linie" liegen.

• damit ist es nicht der Satz von Pasch, aber diesen könnte man sicher für den Beweis verwenden!--Tutorin Anne 15:48, 6. Jun. 2012 (CEST)

Wer versucht's mal selber? z.B. Tabelarisch:--Tutorin Anne 15:53, 6. Jun. 2012 (CEST)

Voraussetzung	(V. hier eintragen)
Behauptung	(Beh. hier eintragen)

Beweisschritt	Begründung
1 (Schritt 1)	(Begründung 1)
2 (Schritt 2)	(Begründung 2)
3 (Schritt)	(Begründung)
4 (Schritt)	(Begründung)

Hier unten kommt gleich eine Lösung von Studentin.--Tutorin Anne 15:53, 6. Jun. 2012 (CEST)
wir haben also eine ebene e, in der eine gerade g liegt.
außerdem liegt in der ebene e die punkte a, b, c, diese dürfen nicht auf der geraden g liegen.

voraussetzung: $\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}$
behauptung: $\overline{AC}\cap g\ne \{\}$

ich nehme mir nur den punkt a, um die ebene in zwei halbebenen ga+ und ga- zu teilen.
laut voraussetzung schneidet die strecke ab die gerade g, daher muss b auf ga- liegen (laut unserer def. der halbebenen)
da die strecke bc die gerade g nicht schneidet (siehe voraussetzung), liegt c (wie ebenso b) auf der halbebenen ga-.
daher muss die strecke ac die gerade g schneiden: denn a liegt auf ga+ und c auf ga-
reicht das so?
Ja, so kann man es beweisen!--Tutorin Anne 15:53, 6. Jun. 2012 (CEST) --Studentin 16:35, 3. Jun. 2012 (CEST)