Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S

Die Aufgabe

Seien $A,B$ und $Q$ drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte $\mathrm{nkoll}(A,B,Q)$. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
$A,B\in g{Q}^{+}\setminus g\Rightarrow \overline{AB}\cap g=\mathrm{\varnothing }$.

Skizze

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

Voraussetzung, Behauptung

Voraussetzung:

(V1) $A\ne B\ne Q\ne A$

(V2) $\mathrm{nkoll}(A,B,C)$

(V3) Gerade g

(V4) $A,B\in g{Q}^{+}\setminus g$

Behauptung:

$\overline{AB}\cap g=\mathrm{\varnothing }$
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.

Beweis durch Widerspruch

Annahme

$\overline{AB}\cap g\ne \mathrm{\varnothing }$

Beweis:

Nr.	Beweischritt	Begründung	Bemerkung M.G.
1)	$\mathrm{nkoll}(A,B,C)$	Voraussetzung	korrekt, vielleicht genauer (V3)
2)	Es existiert ein Dreieck $\overline{ABQ}$	(1)	besser: Es existiert das Dreieck $\overline{ABQ}$. Die drei Punkte $A,B,mQ$ waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.

1) $\mathrm{nkoll}(A,B,C)$ (Voraussetzung)
2) Es existiert ein Dreieck $\overline{ABQ}$ (1))
3) $\overline{AB}\cap g\ne \mathrm{\varnothing }$ (Annahme)
4) ( $\overline{AQ}\cap g=\mathrm{\varnothing }$ und $\overline{BQ}\cap g\ne \mathrm{\varnothing }$)

  oder

  ( $\overline{BQ}\cap g=\mathrm{\varnothing }$ und $\overline{AQ}\cap g\ne \mathrm{\varnothing }$)  (3), Axiom von Pasch)

5) Widerspruch zur Voraussetzung:

   $\overline{AQ}\cap g=\mathrm{\varnothing }$ und $\overline{BQ}\cap g=\mathrm{\varnothing }$  (4), Vor: $A,B\in g{Q}^{+}\setminus g$ )

Behauptung folgt ! $\overline{AB}\cap g=\mathrm{\varnothing }$
--a.b.701 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ @a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen? B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung? --Luca123 18:37, 17. Jun. 2012

Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist, da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--Sissy66 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)