Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S

Die Aufgabe

Seien $ A,B $ und $ Q $ drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte $ \operatorname {nkoll} (A,B,Q) $. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
$ A,B\in \ gQ^{+}\setminus g\Rightarrow {\overline {AB}}\cap g=\emptyset $.

Skizze

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Voraussetzung, Behauptung

Voraussetzung:

(V1) $ A\neq B\neq Q\neq A $

(V2) $ \operatorname {nkoll} (A,B,Q) $

(V3) Gerade g

(V4) $ A,B\in \ gQ^{+}\setminus g $

Behauptung:

$ {\overline {AB}}\cap g=\emptyset $
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.

Beweis durch Widerspruch von a.b.701

Annahme

$ {\overline {AB}}\cap g\neq \emptyset $

Beweis:

Nr.	Beweischritt	Begründung	Bemerkung M.G.
1)	$ \operatorname {nkoll} (A,B,C) $	Voraussetzung	korrekt, vielleicht genauer (V2)
2)	Es existiert ein Dreieck $ {\overline {ABQ}} $	(1)	besser: Es existiert das Dreieck $ {\overline {ABQ}} $. Die drei Punkte $ A,B,Q $ waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.
3)	$ {\overline {AB}}\cap g\neq \emptyset $	(Annahme)	korrekt
4)	$ {\overline {AQ}}\cap g=\emptyset $ und $ {\overline {BQ}}\cap g\neq \emptyset $ oder $ {\overline {BQ}}\cap g=\emptyset $ und $ {\overline {AQ}}\cap g\neq \emptyset $	Axiom von Pasch	Das ist so korrekt. Besser wäre es noch, wenn Schritt 3) mit zur Begründung angegeben wird. Letztlich können wir ja nur deshalb behaupten, dass eine weitere Seite von $ {\overline {ABQ}} $ durch $ g $ geschnitten wird, weil bereits eine Seite nach Schritt 3) durch $ g $ geschnitten wird. Für unseren Beweis wäre es aber auch ausreichend zu schreiben, dass jetzt $ {\overline {AQ}} $ oder $ {\overline {BQ}} $ durch $ g $ geschnitten werden. Also: $ {\overline {AQ}}\cap g\not =\emptyset \vee {\overline {BQ}}\cap g\not =\emptyset $ Es ist natürlich richtig, dass wenn etwa $ {\overline {AQ}} $ durch $ g $ geschnitten wird $ {\overline {BQ}} $ nicht mehr durch $ g $ geschnitten werden kann, für unseren Beweis ist das jedoch belanglos.
5)	Widerspruch zur Voraussetzung: $ {\overline {AQ}}\cap g=\emptyset $ und $ {\overline {BQ}}\cap g=\emptyset $ (4), Vor: $ A,B\in \ gQ^{+}\setminus g $	..	Das ist so korrekt. Weil unsere beiden Punkte Punkte $ A $ und $ B $ ja mit dem Punkt $ Q $ bezüglich $ g $ in derselben Halbebene liegen, kann weder die Strecke $ {\overline {AQ}} $ noch die Strecke $ {\overline {BQ}} $ entsprechend der Definition offene Halbebene mit $ g $ einen Punkt gemeinsam haben.

Behauptung folgt ! $ {\overline {AB}}\cap g=\emptyset $
--a.b.701 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)

Weitere Bemerkungen von M.G. zum Beweis von a.b.701

Der Beweis ist korrekt geführt. Es fehlt vielleicht nur eine Kleinigkeit: Das Axiom von Pasch dürfen wir auf $ {\overline {ABQ}} $ nur anwenden, wenn klar ist, dass die Eckpunkte $ A,B,Q $ nicht auf $ g $ liegen. Das folgt aber unmittelbar daraus, dass es sich entsprechend der Voraussetzung um Punkte der offenen Halbebene $ gQ^{+} $ handelt.

Der letzte Schritt wäre vielleicht einfacher gewesen, wenn Sie die Voraussetzungen (V.I) $ A\in gQ^{+}\setminus g $ und (V.II)$ A\in gQ^{+}\setminus g $ übersetzt hätten

Nr.	Beweisschritt	Begründung
0	$ {\overline {AQ}}\cap g=\emptyset \wedge {\overline {BQ}}\cap g=\emptyset $	(V.I) und (V.II) und Definition Halbebene
...	...	...

Frage von Luca 123

@a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen? B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung? --Luca123 18:37, 17. Jun. 2012

Bemerkung von Sissy66

Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist, da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--Sissy66 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)
Ich denke, dass die Begründung bei Schritt (1) so reicht, da nach Voraussetzung nkoll (A,B,Q) gelten muss.--Tchu Tcha Tcha 17:44, 18. Jun. 2012 (CEST)