Lösung von Aufg. 10.2 S

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

Skizze:

Voraussetzung:
(V1) Punkt P
(V2) Strecke $\overline{AB}$
(V3) $\left|\overline{PA}\right|=\left|\overline{PB}\right|=\left|d\right|$
Behauptung:
P $\in$ Mittelsenkrechte$\overline{AB}$

(1) $\mathrm{\exists }M\in \overline{AB}:\left|AM\right|=\left|MB\right|$ // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke
(2) $\mathrm{\exists }m\in E:MP$ // (V1), (1), Axiom I.1
(3) $\overline{MP}=\overline{MP}$ // trivial
(4) $\left|\overline{PA}\right|=\left|\overline{PB}\right|$ // (V3)
(5) $\left|\overline{AM}\right|=\left|\overline{MB}\right|$ // (1)
(6) $\overline{AMP}kongruent\overline{BMP}$ // (3-5), SSS
(7) $\mathrm{\angle }AMPkongruent\mathrm{\angle }BMP$ // (6)
(8) $m\perp \overline{AB}$ // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht
(9) $P\in m$ also auch $P\in Mittelsenkrechte\overline{AB}$ // (2)
qed
--Tchu Tcha Tcha 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

Kopernikus / Just noch ein sailA

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Vor:
1. $\overline{AB}$
2. $\overline{AP}=\overline{PB}$

Beh:
$P\in$ der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$

Schritt	Beweis	Begründung
1	$\overline{AP}=\overline{BP}$	Vor.
2	$\overline{AM}=\overline{MB}$	Ex. Eind. der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$
3	$\overline{MP}=\overline{PM}$	trivial
4	$\overline{AMP}\widetilde{=}\overline{BMP}$	Kong. Satz SSS, 1,2,3
5	$\mathrm{\angle }AMP=\mathrm{\angle }PMB$	4, Dreieckskongruenz
6	$P\in$ der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$	2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
7	Beh. stimmt q.e.d	6, Beh.

--Kopernikus 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST)

--Just noch ein sailA 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST)

$\overline{AB}$

Lösungsversuch schokomuffin

Vor: Abstand PA = Abstand PB Beh: $P\in$ Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

(1) $\mathrm{\exists }M\in \overline{AB}:\left|AM\right|=\left|MB\right|$ Ex. u. Eind. Mittelpunkt, Ax. II/ 2

(2) $\mathrm{\exists }g:M\in g\wedge P\in g$ Ax. I/1

(3) $\mathrm{\angle }BMP=90$ Ax. IV/2

(4) $\mathrm{\angle }AMP=\mathrm{\angle }BMP$ Def. RW, NW, (3)

(5) $g\perp \overline{AB}$ (4), (3)

(6) g ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ (4), (1)

--schokomuffin 14:02 01. Jul. 2012 (CEST)