Lösung von Aufg. 10.2 S
Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Skizze:
Voraussetzung:
(V1) Punkt P
(V2) Strecke $ {\overline {AB}} $
(V3) Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): \left|PA| = |PB| = \left| d \right|
bzw. $ {\overline {PA}}{\tilde {=}}{\overline {PB}} $
Behauptung:
P $ \in $ Mittelsenkrechte$ {\overline {AB}} $
(1) $ \exists M\in {\overline {AB}}:\left|AM\right|=\left|MB\right| $ // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke
(2) $ \exists m\in E:\ M,P\in m $ // (V1), (1), Axiom I.1
(3) $ {\overline {MP}}{\tilde {=}}{\overline {MP}} $ // trivial
(4) $ {\overline {PA}}{\tilde {=}}{\overline {PB}} $ // (V3)
(5) $ {\overline {AM}}{\tilde {=}}{\overline {MB}} $ // (1)
(6) $ {\overline {AMP}}{\tilde {=}}{\overline {BMP}} $ // (3-5), SSS
(7) $ \angle AMP{\tilde {=}}\angle BMP $ // (6)
(8) $ \ m\perp {\overline {AB}} $ // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht
(9) $ P\in m $ also auch $ P\in Mittelsenkrechte{\overline {AB}} $ // (2)
qed
--Tchu Tcha Tcha 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)
Kopernikus / Just noch ein sailA
Beweisen Sie Satz VII.6 a:
Wenn ein Punkt $ \ P $ zu den Endpunkten der Strecke $ {\overline {AB}} $ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $ {\overline {AB}} $.
Vor:
1. $ {\overline {AB}} $
2. $ \left|AP\right|=\left|BP\right| $
Beh:
$ P\in $ Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) von $ {\overline {AB}} $
| Schritt | Beweis | Begründung |
|---|---|---|
| 1 | $ \left|AP\right|=\left|BP\right| $ | Vor. |
| 2 | $ {\overline {AM}}={\overline {MB}} $ | Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte der Strecke $ {\overline {AB}} $ |
| 3 | $ {\overline {MP}}={\overline {PM}} $ | trivial |
| 4 | $ {\overline {AMP}}{\tilde {=}}{\overline {BMP}} $ | Kong. Satz SSS, 1,2,3 |
| 5 | $ \angle AMP=\angle PMB $ | 4, Dreieckskongruenz |
| 6 | $ P\in $ der Mittelsenkrechten von $ {\overline {AB}} $ | 2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte) |
| 7 | Beh. stimmt q.e.d | 6, Beh. |
--Kopernikus 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST)
$ {\overline {AB}} $
Lösungsversuch schokomuffin
Vor: $ |PA|=|PB| $
Beh: $ P\in $ Mittelsenkrechte von $ {\overline {AB}} $
(1) $ \exists M\in {\overline {AB}}:\left|AM\right|=\left|MB\right| $ Ex. u. Eind. Mittelpunkt, Ax. II/ 2
(2) $ \exists g:M\in g\ \wedge P\in g $ Ax. I/1
(3) $ \angle BMP=90 $ Ax. IV/2
(4) $ \angle AMP=\angle BMP $ Def. RW, NW, (3)
(5) $ \ g\perp \ {\overline {AB}} $ (4), (3)
(6) g ist Mittelsenkrechte von $ {\overline {AB}} $ (4), (1)
--schokomuffin 14:02 01. Jul. 2012 (CEST)
- Schritt 3 und Schritt 4 kommen mir etwas aus der Luft gegriffen vor. Woher weiß man, dass $ \angle BMP=90 $ und $ \angle AMP=\angle BMP $ gilt? --Tutor Andreas 20:12, 1. Jul. 2012 (CEST)
