Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $(V_1,\oplus ,\mathbb{ℝ},\cdot )$ und $(V_2,\otimes ,\mathbb{ℝ},\odot )$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\phi :V_1\to V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V_1\wedge \mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:$ (H) $\phi$ ist homogen: $\phi (a\cdot \overrightarrow{u})=a\odot \phi \left(\overrightarrow{u}\right)$ (A) $\phi$ ist additiv: $\phi (\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v})=\phi \left(\overrightarrow{u}\right)\otimes \phi \left(\overrightarrow{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^2$ $\mathrm{\forall }\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):\phi \left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ Man beweise: $\phi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems Drehung der kanonischen Basisvektoren $\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\to \phi (\overrightarrow{i})=\left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sin\alpha \end{array}\right)$ $\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\to \phi (\overrightarrow{j})=\left(\begin{array}{c}-sin\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right)$ Drehung anderer Vektoren: $\overrightarrow{x}\to \phi (\overrightarrow{x})$ $\overrightarrow{x}=\lambda \overrightarrow{i}+\mu \overrightarrow{j}\to \phi (\overrightarrow{x})=\phi (\lambda \overrightarrow{i})+\phi (\mu \overrightarrow{j})=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sin\alpha \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}-sin\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right)$ Bsp.: $\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0,5\end{array}\right)$ wird an O um $\alpha$ gedreht. $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{i}+\mu \overrightarrow{j}\to \phi (\overrightarrow{O{P}^{\prime }})=\phi (\lambda \overrightarrow{i})+\phi (\mu \overrightarrow{j})=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sin\alpha \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c}-sin\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right)\to 2\cdot \left(\begin{array}{c}cos\alpha \\ sin\alpha \end{array}\right)+0,5\cdot \left(\begin{array}{c}-sin\alpha \\ cos\alpha \end{array}\right)$ $\overrightarrow{O{P}^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2cos\alpha -0,5sin\alpha \\ 2sin\alpha +0,5cos\alpha \end{array}\right)$ Drehungsmatrix: $\left(\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cdot cos\alpha -y\cdot sin\alpha \\ x\cdot sin\alpha +y\cdot cos\alpha \end{array}\right)$ Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung: Behauptung: $\phi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\phi$ ist homogen (A) $\phi$ ist additiv Beweis zur Homogenität: $\phi (\lambda \cdot \overrightarrow{x})=\phi \left(\begin{array}{c}\lambda \cdot x_1\\ \lambda \cdot x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \cdot x_1\cdot cos\alpha -(\lambda \cdot x_2)\cdot sin\alpha \\ \lambda \cdot x_1\cdot sin\alpha +\lambda \cdot x_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \cdot (x_1\cdot cos\alpha -x_2\cdot sin\alpha )\\ \lambda \cdot (x_1\cdot sin\alpha +x_2\cdot cos\alpha )\end{array}\right)=\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\cdot cos\alpha -x_2\cdot sin\alpha \\ x_1\cdot sin\alpha +x_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\lambda \cdot \phi (\overrightarrow{x})$ Beweis zur Additivität: $\phi (\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y})=\phi \left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(x_1+y_1)\cdot cos\alpha -(x_2+y_2)\cdot sin\alpha \\ (x_1+y_1)\cdot sin\alpha +(x_2+y_2)\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\cdot cos\alpha +y_1\cdot cos\alpha -x_2\cdot sin\alpha -y_2\cdot sin\alpha \\ x_1\cdot sin\alpha +y_1\cdot sin\alpha +x_2\cdot cos\alpha y_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\cdot cos\alpha -x_2\cdot sin\alpha +y_1\cdot cos\alpha -y_2\cdot sin\alpha \\ x_1\cdot sin\alpha +x_2\cdot cos\alpha +y_1\cdot sin\alpha +y_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\cdot cos\alpha -x_2\cdot sin\alpha \\ x_1\cdot sin\alpha +x_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\cdot cos\alpha -y_2\cdot sin\alpha \\ y_1\cdot sin\alpha +y_2\cdot cos\alpha \end{array}\right)=\phi (\overrightarrow{x})+\phi (\overrightarrow{y})$ Geradenspiegelung Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.