Definition
Definition
(lineare Abbildung)
Es seien $ \left(V_{1},\oplus ,\mathbb {R} ,\cdot \right) $ und $ \left(V_{2},\otimes ,\mathbb {R} ,\odot \right) $ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen.
Eine Abbildung $ \varphi :V_{1}\rightarrow V_{2} $ heißt lineare Abbildung wenn gilt:
$ \forall {\vec {u}},{\vec {v}}\in V_{1}\wedge \forall a\in \mathbb {R} : $
(H) $ \varphi $ ist homogen: $ \varphi \left(a\cdot {\vec {u}}\right)=a\odot \varphi \left({\vec {u}}\right) $
(A) $ \varphi $ ist additiv: $ \varphi \left({\vec {u}}\oplus {\vec {v}}\right)=\varphi \left({\vec {u}}\right)\otimes \varphi \left({\vec {v}}\right) $
Beispiele
senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene
$ \varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2} $
$ \forall {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}:\varphi \left({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right)={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
Man beweise: $ \varphi $ ist lineare Abbildung
Drehung
Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems
Drehung der kanonischen Basisvektoren
$ {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {i}})={\begin{pmatrix}cos\alpha \\sin\alpha \end{pmatrix}} $
$ {\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {j}})={\begin{pmatrix}-sin\alpha \\cos\alpha \end{pmatrix}} $
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Drehung anderer Vektoren:
$ {\vec {x}}\rightarrow \varphi ({\vec {x}}) $
$ {\vec {x}}=\lambda {\vec {i}}+\mu {\vec {j}}\rightarrow \varphi ({\vec {x}})=\varphi (\lambda {\vec {i}})+\varphi (\mu {\vec {j}})=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}cos\alpha \\sin\alpha \end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}-sin\alpha \\cos\alpha \end{pmatrix}} $
Bsp.: $ {\vec {OP}}={\begin{pmatrix}2\\0,5\end{pmatrix}} $ wird an O um $ \alpha $ gedreht.
$ {\vec {OP}}=\lambda {\vec {i}}+\mu {\vec {j}}\rightarrow \varphi ({\vec {OP'}})=\varphi (\lambda {\vec {i}})+\varphi (\mu {\vec {j}})=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}cos\alpha \\sin\alpha \end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}-sin\alpha \\cos\alpha \end{pmatrix}}\rightarrow 2\cdot {\begin{pmatrix}cos\alpha \\sin\alpha \end{pmatrix}}+0,5\cdot {\begin{pmatrix}-sin\alpha \\cos\alpha \end{pmatrix}} $
$ {\vec {OP'}}={\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\0,5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2cos\alpha -0,5sin\alpha \\2sin\alpha +0,5cos\alpha \end{pmatrix}} $
Drehungsmatrix:
$ {\begin{pmatrix}cos\alpha &-sin\alpha \\sin\alpha &cos\alpha \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cdot cos\alpha -y\cdot sin\alpha \\x\cdot sin\alpha +y\cdot cos\alpha \end{pmatrix}} $
Drehung um den Ursprung des Koordinatensystems als lineare Abbildung:
Behauptung: $ \varphi $ ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) $ \varphi $ ist homogen
(A) $ \varphi $ ist additiv
Beweis zur Homogenität:
$ \varphi (\lambda \cdot {\vec {x}})=\varphi {\begin{pmatrix}\lambda \cdot x_{1}\\\lambda \cdot x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot x_{1}\cdot cos\alpha -(\lambda \cdot x_{2})\cdot sin\alpha \\\lambda \cdot x_{1}\cdot sin\alpha +\lambda \cdot x_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot (x_{1}\cdot cos\alpha -x_{2}\cdot sin\alpha )\\\lambda \cdot (x_{1}\cdot sin\alpha +x_{2}\cdot cos\alpha )\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\cdot cos\alpha -x_{2}\cdot sin\alpha \\x_{1}\cdot sin\alpha +x_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}=\lambda \cdot \varphi ({\vec {x}}) $
Beweis zur Additivität:
$ \varphi ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\varphi {\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x_{1}+y_{1})\cdot cos\alpha -(x_{2}+y_{2})\cdot sin\alpha \\(x_{1}+y_{1})\cdot sin\alpha +(x_{2}+y_{2})\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\cdot cos\alpha +y_{1}\cdot cos\alpha -x_{2}\cdot sin\alpha -y_{2}\cdot sin\alpha \\x_{1}\cdot sin\alpha +y_{1}\cdot sin\alpha +x_{2}\cdot cos\alpha y_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\cdot cos\alpha -x_{2}\cdot sin\alpha +y_{1}\cdot cos\alpha -y_{2}\cdot sin\alpha \\x_{1}\cdot sin\alpha +x_{2}\cdot cos\alpha +y_{1}\cdot sin\alpha +y_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\cdot cos\alpha -x_{2}\cdot sin\alpha \\x_{1}\cdot sin\alpha +x_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y_{1}\cdot cos\alpha -y_{2}\cdot sin\alpha \\y_{1}\cdot sin\alpha +y_{2}\cdot cos\alpha \end{pmatrix}}=\varphi ({\vec {x}})+\varphi ({\vec {y}}) $
Geradenspiegelung
Spiegelung an der x-Achse:
$ {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {i}})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}} $
$ {\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {j}})={\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}} $
Matrix für die Spiegelung an der x-Achse:
$ {\begin{pmatrix}1\ 0\\0\ -1\end{pmatrix}} $
Spiegelung eine Punktes P an der x-Achse:
$ {\vec {OP}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
$ \varphi ({\vec {OP}})={\begin{pmatrix}1\ 0\\0\ -1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
Spiegelung an der x-Achse als lineare Abbildung:
Behauptung: $ \varphi $ ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) $ \varphi $ ist homogen
(A) $ \varphi $ ist additiv
Beweis zur Homogenität:
Beweis zur Addidtivität:
--Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)
Spiegelung an der y-Achse:
$ {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {i}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}} $
$ {\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {j}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}} $
Matrix für die Spiegelung an der y-Achse:
$ {\begin{pmatrix}-1\ 0\\0\ 1\end{pmatrix}} $
Spiegelung eine Punktes P an der y-Achse:
$ {\vec {OP}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
$ \varphi ({\vec {OP}})={\begin{pmatrix}-1\ 0\\0\ 1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
Spiegelung an der y-Achse als lineare Abbildung:
Behauptung: $ \varphi $ ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) $ \varphi $ ist homogen
(A) $ \varphi $ ist additiv
Beweis zur Homogenität:
Beweis zur Addidtivität:
--Jessy* 09:15, 16. Jan. 2013 (CET)
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden:
$ {\vec {i}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {i}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}} $
$ {\vec {j}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rightarrow \varphi ({\vec {j}})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}} $
Matrix für die Spiegelung an der 1. Winkelhalbbierenden:
$ {\begin{pmatrix}0\ 1\\1\ 0\end{pmatrix}} $
Spiegelung eine Punktes P an der 1. Winkelhalbbierenden:
$ {\vec {OP}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
$ \varphi ({\vec {OP}})={\begin{pmatrix}0\ 1\\1\ 0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} $
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden als lineare Abbildung:
Behauptung: $ \varphi $ ist eine lineare Abbildung.
Zu zeigen:
(H) $ \varphi $ ist homogen
(A) $ \varphi $ ist additiv
Beweis zur Homogenität:
Beweis zur Addidtivität:
--Jessy* 09:16, 16. Jan. 2013 (CET)
Zentrische Streckung
Isomorphe Vektorräume
Definition
Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.
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