Winkelmessung

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $ \ \alpha $ gibt es genau eine reelle Zahl $ \ \omega $ zwischen 0 und 180.

Definition V.4: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $ \ \omega $, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $ \ \alpha $ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $ \ \alpha $ genannt.
In Zeichen: $ \omega =\left|\alpha \right| $.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $ \ g\equiv SA $ eine Gerade in der Ebene $ \ \mathrm {E} $. Zu jedem Winkel $ \ \alpha $ gibt es in jeder der beiden durch $ \ g $ bestimmten Halbebenen der Ebene $ \ \mathrm {E} $ genau einen Strahl $ \ SB^{+} $ mit $ \ \left|\alpha \right|=\left|\angle ASB\right| $

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $ \ P $ zum Inneren des Winkels $ \ \angle ASB $ gehört , dann gilt $ \ \left|\angle ASP\right|+\left|\angle PSB\right|=\left|\angle ASB\right| $.

Satz V.2

Wenn der Punkt $ \ P $ im Inneren des Winkels $ \ \angle ASB $ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $ \ \angle ASP $ und $ \ \angle PSB $ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $ \ \angle ASB $.

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.6 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V. :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.
Nach Definition V.5 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Das Axiom