Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (WS 12 13)

Beweisen Sie: Es sei $\mathrm{koll}(A,B,C)$ mit $A,B,C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ oder $\mathrm{Zw}(A,C,B)$ oder $\mathrm{Zw}(B,A,C)$.

Als Hilfe schon mal eine Tabelle. Für die Findung der Lösung darf auch nur angefangen werden. Ist es sinnvoll den Beweis direkt oder indirekt durch Widerspruch zu beweisen? Welche Definitionen sind vermutlich hilfreich? --Tutorin Anne 12:36, 10. Dez. 2012 (CET)

Beweis durch Kontraposition:
Note: $\mathrm{\neg }(Zw(A,B,C)\vee Zw(A,C,B)\vee Zw(B,A,C))<=>\mathrm{\neg }Zw(A,B,C)\wedge \mathrm{\neg }Zw(A,C,B)\wedge \mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$

Voraussetzung	$\mathrm{\neg }Zw(A,B,C)\wedge \mathrm{\neg }Zw(A,C,B)\wedge \mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$
Behauptung	$\mathrm{\neg }koll(A,B,C)$

Fall 1: $\mathrm{\neg }Zw(A,B,C)$ (Vor1)

Fall 2: $\mathrm{\neg }Zw(A,C,B)$ (Vor2)

Fall 3: $\mathrm{\neg }Zw(B,A,C)$ (Vor3)

Zu Fall 1:

Beweisschritt	Begründung
1 |AB| + |BC| > |AC| v |AB| + |BC| < |AC|	Vor1; Def. Zw
2 Es existiert ein Dreieck ABC	1.); Dreiecksungleichung
3 $\mathrm{\neg }koll(A,B,C)$	2.); Def. koll

Fall 2 und 3 analog zu Fall 1.
q.e.d.