Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

Voraussetzung	$\mathrm{\angle }ABC,Sg(A)=A^{\prime },Sg(B)=B^{\prime },Sg(C)=C^{\prime }$
Behauptung	$Sg(\mathrm{\angle }ABC)=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Beweisschritt	Begründung
1 $\mathrm{\angle }ABC=B{A}^{+}\cup B{C}^{+}$	Voraussetzung, Def. Winkel
2 $Sg(B{A}^{+})=B^{\prime }A{\text{'}}^{+}\wedge Sg(B{C}^{+})=B^{\prime }C{\text{'}}^{+}$	Halbgeradentreue, 1)
3 $\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }A{\text{'}}^{+}\cup B^{\prime }C{\text{'}}^{+}$	Def Winkel, 2)
4 $|\mathrm{\angle }ABC|=|\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }|$	Winkelmaßerhaltend
5 $Sg(\mathrm{\angle }ABC)=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$	1)2)4)

--Regenschirm 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST)

Der Beweis ist korrekt.--Tutorin Anne 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

Voraussetzung:
$\mathrm{\angle }ABCmitB{A}^{+}\cup B{C}^{+}$ $mitA,B,C\in ϵ$

Behauptung: $\mathrm{\angle }ABC\widetilde{=}\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

	Beweisschritt	Begründung
1)	A' = Sg(A)	Eigenschaft d. GS
2)	B' = Sg(B)	Eigenschaft d. GS
3)	C' = Sg(C)	Eigenschaft d. GS
4)	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \\ BA^{+}\ \tilde {=}\ \ B'A'^{+}}	(1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
5)	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \\ BC^{+}\ \tilde {=}\ \ B'C'^{+}}	(2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
6)	$\left|\mathrm{\angle }ABC\right|=\left|\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right|$	(4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
7)	$\mathrm{\angle }ABC\widetilde{=}\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$	(4); (5); (6); Winkelkongruenz q.e.d.

--Nolessonlearned 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST)