Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $a\Vert |b\wedge b\Vert |c\Rightarrow a\Vert |c$ .

VSS: aTEILTb und bTEILTc
Beh: aTEILTC
Annahme: aTEILTNICHTc

$||$ - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--Tutorin Anne 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST)

BEWEIS:

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME

2. S ist Element von a und ---------------> (1.)
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.)

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein

---> Behauptung stimmt--Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai

b) Welche Eigenschaft der Relation $\Vert |$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

---> TRANSITIVITÄT --Blumenkind 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai

Voraussetzung: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a\ ||\ b\ \wedge\ b\ ||\ c\ \Rightarrow \ a\ ||\ c\\mit\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {leer} \right\} \ ,\ \ b\ \cap\ c\ =\ \left\{ {leer} \right\}}

Behauptung: $a||bmita\cap c=\left\{leer\right\}$

Annahme: $anicht||cmita\cap c=\left\{S\right\}$
--Nolessonlearned 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	$a\cap c=\left\{S\right\}$	Annahme
2)	$S\in a\wedge S\in c$	(1); Annahme
3)	$S\in amita||b\wedge S\in bmitb||c$	(2); Voraussetzung;
4)	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle a\ ||\ c\}	Widerspruch zum Parallelenaxiom; Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.

--Nolessonlearned 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST)