Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018

Aufgabe 2.1 Gegeben sei $D{D}_{\mathrm{\Delta }}:=[\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\},\circ ]$. $$ Bestimmen Sie $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$ derart, dass $D{D}_{\mathrm{\Delta }}$ eine Gruppe ist. Die Operation $\circ$ ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen. Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix $M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \end{array}\right)$ geben Sie z.B. wie folgt ein: $M=\{\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\},\{\frac{1}{2}\sqrt{3},-\frac{1}{2}\sqrt{3}\}\}$. Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa $P=(0,1)$ ein. Lassen Sie nun $M*P$ berechnen. Es wird eine Bildpunkt von $P$ berechnet ... . Aufgabe 2.2 Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_3,\oplus ].$ (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1. Aufgabe 2.3 Es sei $[\{e,a,b\},\circ ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie $a$ muss das Inverse von $b$ und $b$ muss das Inverse von $a$ sein. Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen? Aufgabe 2.4 Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. Aufgabe 2.5 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $b\in G$ das Rechtsinverse zu $a\in G$ ist, dann ist $b$ auch das Linksinverse von $a$ bzgl. $\circ$. Aufgabe 2.6 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $e\in G$ das Linkseinselement von $[G,\circ ]$ ist, dann ist $e$ auch das Rechtseinselement von $[G,\circ ]$.