Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 2 SoSe 2018

Aufgabe 2.1 Gegeben sei $D{D}_{\mathrm{\Delta }}:=[\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\},\circ ]$. $$ Bestimmen Sie $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$ derart, dass $D{D}_{\mathrm{\Delta }}$ eine Gruppe ist. Die Operation $\circ$ ist dabei als die normale Matrizenmultiplikation zu verstehen. Hilfe: Öffnen Sie Geogebra. Sie können in Geogebra Matrizen eingeben. Die Matrix $M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}\sqrt{3}\\ \end{array}\right)$ geben Sie z.B. wie folgt ein: $M=\{\{-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\},\{\frac{1}{2}\sqrt{3},-\frac{1}{2}\sqrt{3}\}\}$. Geben Sie jetzt die Koordinaten eines beliebigen Punktes wie etwa $P=(0,1)$ ein. Lassen Sie nun $M*P$ berechnen. Es wird eine Bildpunkt von $P$ berechnet ... . Aufgabe 2.2 Bestimmen Sie die Verknüpfungstafel der Gruppe $[{\mathbb{\mathbb{Z}}}_3,\oplus ].$ (Restklassen modulo 3, mit Restklassenadddition). Vergleichen Sie mit der Gruppentafel aus Aufgabe 2.1. Aufgabe 2.3 Es sei $[\{e,a,b\},\circ ]$ eine Gruppe mit dem Einselement $e$. Beweisen Sie $a$ muss das Inverse von $b$ und $b$ muss das Inverse von $a$ sein. Was haben Sie mit diesem Beweis gleichzeitig bewiesen? Aufgabe 2.4 Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleicheit gibt es zwei und nur zwei verschiedene vierelementige Gruppen. Aufgabe 2.5 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $b\in G$ das Rechtsinverse zu $a\in G$ ist, dann ist $b$ auch das Linksinverse von $a$ bzgl. $\circ$. Aufgabe 2.6 Es sei $[G,\circ ]$ eine Gruppe. Beweisen Sie: Wenn $e\in G$ das Linkseinselement von $[G,\circ ]$ ist, dann ist $e$ auch das Rechtseinselement von $[G,\circ ]$. Aufgabe 2.7 Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Einselementes für Gruppen. Aufgabe 2.8 Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Gruppenelement genau ein inverses Element.[\mat Aufgabe 2.9 Beweisen Sie: In jeder Gruppe $[G,\circ ]$ sind die Gleichungen $\begin{array}{rl}a\circ x& =b\\ y\circ a& =b\end{array}$ eindeutig Lösbar. Aufgabe 2.10 In jeder Gruppe sind die in Aufgabe 2.9 genannten Gleichungen immer eindeutig lösbar. In den Modulen der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation bzw. mit der Addition sind die genannten Gleichungen nicht immer lösbar. Eine Gemeinsamkeit bzgl. der Lösbarkeit der Gleichungen haben diese Module allerdings mit Gruppen gemeinsam. Welche? Diese Eigenschaft heißt im übrigen Regularität. $[\mathbb{\mathbb{N}},+]$ und $[\mathbb{\mathbb{N}},\cdot ]$ sind kommutative, reguläre Halbgruppen mit Einslement.