Allgemeine lineare Gleichung mit drei Variablen

Allgemeine lineare Gleichung ax + by + cz = d $\begin{array}{r}ax+by+cz=d\\ a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}\\ x,y,z\in \mathbb{ℝ},\end{array}$ Grafische Veranschaulichung der Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ ax+by+cz=d Gerade? Es seien $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$ , beliebig aber fest, $a,b,c$ nicht gleichzeitig $0$, $x,y,z\in \mathbb{ℝ}$, variabel. Wir untersuchen die Gleichung $ax+by+cz=d$ Die Lösungsmenge einer Gleichung vom Typ $ax+by=c$ ließ sich die Koordinaten der Punkte einer Geraden im ${\mathbb{ℝ}}^2$ interpretieren. Man mag schnell geneigt sein, die Lösungsmenge der Gleichung $ax+by+cz=d$ alsdie Koordinaten einer Geraden im Raum ${\mathbb{ℝ}}^3$ zu interpretieren. Dem ist aber nicht so: Spezialfall: zwei der Koeffizieneten, a, b, c sind gleich 0 Sei etwa nur der Koeffizient $a$ verschieden von $0$. In diesem Fall vereinfacht sich unsere Gleichung zu $ax=d$. Umgestellt nach $x$ ergibt sich $x=\frac{d}{a}$. Alle geordneten Tripel $(\frac{d}{a},y,z)$ aus dem ${\mathbb{ℝ}}^3$ genügen damit unserer Gleichung. Unklar? Wir können die Gleichung auch als $ax+0y+0z=d$ bzw. $x+0y+0z=\frac{d}{a}$ schreiben. Die Lösungsmenge dieser Gleichung lässt sich als die Koordinatentripel der Punkte einer Ebene $\epsilon$ interpretieren, die parallel zu einer der Koordinatenebene ist: Die Lösungsmenge der Gleichung $2x+0y+0z=3$ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $y-z-$Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $\left(\frac{3}{2}\right)$ geht. Die Lösungsmenge der Gleichung $0x+\frac{3}{7}y+0z=\frac{5}{3}$ sind die Koordinatentripel aller Punkte der Ebene, die parallel zur $x-z-$Ebene ist und durch den Punkt mit den Koordinaten $(0,\frac{35}{9})$ geht. Die Lösungsmenge der Gleichung $0x+0y+\pi z=0$ ist die $x-y-$Ebene. Spezialfall: einer der drei Koeffizienten a, b, c ist gleich 0 Beispiel 1 $z=0$, $a=2$, $c=\frac{3}{5}$, $d=1$ Unsere Gleichung lautet für dieses Beispiel $2x+\frac{3}{5}y+0z=1$ Die Bestimmung der Lösungsmenge dieser Gleichung vereinfacht sich zunächst zu einem ebenen Problem: $2x+\frac{3}{5}y=1$ Die Lösungsmenge dieser vereinfachten Gleichung ist eine Gerade in der $x-y-$Ebene. Im konkreten Fall handelt es sich um die Gerade mit der Gleichung $2x+\frac{3}{5}y=1$ bzw. mit der Gleichung $y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}$. Die Lösungsmenge unserer Ausgangsgleichung $2x+\frac{3}{5}y+0z=1$ ist damit eine Ebene, die senkrecht auf der $x-y-$Ebene steht und mit der $x-y-$Ebene die Gerade $y=-\frac{10}{3}x+\frac{5}{3}$ gemeinsam hat. Allgemeiner Fall: jeder der Koeffizienten a, b, c ist verschieden von 0 Ebene! Satz: Die Gleichung (II) $ax+by+cz=d$ beschreibt die Menge aller Punkte einer Ebene im ${\mathbb{ℝ}}^3$.