Lösung von Aufgabe 13.5

Man beweise: Ein Punkt $P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Versuch 1

Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.

1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$."

VSS: $\overline{PB}\cong \overline{PA}$, $\alpha \cong \mathrm{\angle }ASB\cong \mathrm{\angle }pq$
Beh: $P\in$ Winkelhalbierende von $\alpha$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit Lot)
(II)	$\overline{PB}\cong \overline{PA}$	(VSS)
(III)	$\overline{SP}\cong \overline{SP}$	(trivial)
(IV)	$|\mathrm{\angle }SBP|=|\mathrm{\angle }SAP|=90$	(Definition Lot)
(V)	$\mathrm{\angle }SAP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SAP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VI)	$\mathrm{\angle }SBP$ ist größter Winkel im Dreieck $\overline{SBP}$	(Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV)
(VII)	$\mathrm{\angle }SBP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber $\mathrm{\angle }SAP$ liegt der Seite $\overline{SP}$ gegenüber	(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI)
(VIII)	$\overline{SBP}\cong \overline{SAP}$	(SSW), (VII), (IV), (III), (II)
(IX)	$\mathrm{\angle }ASP\cong \mathrm{\angle }BSP$	(VIII), (Def. Dreieckskongruenz)
(X)	$|\mathrm{\angle }ASP|+\mathrm{\angle }BSP|=\mathrm{\angle }ASB|$	(IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom)
(XI)	$S{P}^{+}\cong$ Winkelhalbierenden von $\alpha$ --> $P\in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(X)

--> Beh. wahr qed
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2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels $\alpha$ gehört, dann hat er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils denselben Abstand."

VSS: $P\in$ Winkelhalbierende von $\alpha$ $\alpha \cong \mathrm{\angle }ASB\cong \mathrm{\angle }pq$
Beh: $\overline{PB}\cong \overline{PA}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$P\in$ Winkelhalbierende von $\alpha$	(VSS)
(II)	$A$ sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $p$ und B sei der Lotfußpunkt von P auf den Strahl $q$	(Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
(III)	es existiert ein Punkt $C\in g{Q}^{+}:|\mathrm{\angle }P{B}^{+},P{C}^{+}|=90$	Winkelkonstruktionsaxiom, (I), (II)
(IV)	es exisitiert genau eine Gerade $s$ durch $C$ und $P$, senkrecht auf $g$	Axiom I.1, (II)