Lösung von Aufgabe 13.5
Man beweise: Ein Punkt $ \ P $ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $, wenn er zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand hat.
Versuch 1
Da es sich bei diesem Satz um eine Äquivalenzrelation handelt ("genau dann") muss die "Hin- und Rückrichtung" bewiesen werden.
1. Hinrichtung: "Wenn ein Punkt P zu den Schenkeln von $ \ \alpha $ jeweils denselben Abstand hat, dann gehört er zur Winkelhalbierenden des Winkels $ \ \alpha $."
VSS: $ {\overline {PB}}\cong {\overline {PA}} $, $ \alpha \cong \angle ASB\cong \angle pq $
Beh: $ P\in $ Winkelhalbierende von $ \ \alpha $
Kommentar --Heinzvaneugen 16:18, 20. Jul. 2010 (UTC): siehe Diskussion
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ \ A $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ p $ und $ \ B $ sei der Lotfußpunkt von $ \ P $ auf den Strahl $ \ q $ | (Existenz und Eindeutigkeit Lot) |
| (II) | $ {\overline {PB}}\cong {\overline {PA}} $ | (VSS) |
| (III) | $ {\overline {SP}}\cong {\overline {SP}} $ | (trivial) |
| (IV) | $ |\angle SBP|=|\angle SAP|=90 $ | (Definition Lot) |
| (V) | $ \angle SAP $ ist größter Winkel im Dreieck $ {\overline {SAP}} $ | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
| (VI) | $ \angle SBP $ ist größter Winkel im Dreieck $ {\overline {SBP}} $ | (Satz: höchstens ein rechter Winkel im Dreieck), (IV) |
| (VII) | $ \angle SBP $ liegt der Seite $ {\overline {SP}} $ gegenüber $ \angle SAP $ liegt der Seite $ {\overline {SP}} $ gegenüber |
(Satz: größter Winkel liegt längsten Seite gegenüber),(V), (VI) |
| (VIII) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{SBP} \cong \overline{SAP} | (SSW), (VII), (IV), (III), (II) |
| (IX) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASP \cong \angle BSP | (VIII), (Def. Dreieckskongruenz) |
| (X) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle ASP| + \angle BSP|= |\angle ASB| \rightarrow |\angle ASP| + | \angle ASP| =|\angle ASB| | (IX), (Def. Winkelhalbierende), (Winkeladditionsaxiom) |
| (XI) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {SP^{+}} \cong Winkelhalbierenden von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \ --> $ \ P\in $ Winkelhalbierende von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha | (X) |
--> Beh. wahr qed
2. Rückrichtung: "Wenn ein Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P
zur Winkelhalbierenden des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha
gehört, dann hat er zu den Schenkeln von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha
jeweils denselben Abstand."
VSS: $ P\in $ Winkelhalbierende von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha
und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha \cong \angle ASB \cong \angle pq
Beh: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{PB} \cong \overline{PA}
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P \in Winkelhalbierende von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha | (VSS) |
| (II) | $ \ A $ sei der Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf den Strahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ p und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ B sei der Lotfußpunkt von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P auf den Strahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ q | (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) |
| (III) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle SBP| = |\angle SAP| = 90 | (II), (Def. Lot) |
| (IV) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\angle ASP| = |\angle BSP| | (Def. Winkelhalbierende) |
| (V) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle ASP| + | \angle SPA| + | \angle SAP| = 180 | (Innenwinkelsumme im Dreieck) |
| (VI) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle BSP| + | \angle SPB| + | \angle SBP| = 180 | (Innenwinkelsumme im Dreieck) |
| (VII) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle ASP| + | \angle SPA| + | \angle SAP| = | \angle BSP| + | \angle SPB| + | \angle SBP| | (V), (VI), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (VIII) | $ |\angle SPA|+|\angle SAP|=|\angle SPB|+|\angle SBP| $ | (VII), (IV), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (IX) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): | \angle SPA| = | \angle SPB| | (IX), (III), (rechnen mit reellen Zahlen) |
| (X) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{SP} \cong \overline{SP} | (trivial) |
| (XI) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{SBP} \cong \overline{SAP} | (WSW), (X), (IX), (IV) |
| (XII) | Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \overline{PA} \cong \overline{PB} | (XI), (Def. Dreieckskongruenz) |
-->Beh wahr. qed
Somit ist die Äquivalenz gezeigt --Löwenzahn 11:35, 17. Jul. 2010 (UTC)
