Wurzel aus 2 ist irrational: Unterschied zwischen den Versionen

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Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational.<br />
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> ist rational.<br />
d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>.
d.h. <math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}</math>.
Beweis durch Widerspruch. <br />
Annahme: <math>\sqrt{2}</math> = rational
D.h. <math>\exists</math> p,q <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> : <math>\frac{p}{q}</math> = <math>\sqrt{2}</math> , mit p,q sind teilerfremd. <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> = 2 <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>p^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>p^2</math> ist gerade. <math>\Rightarrow</math> p=2n, mit n <math>\in</math> <math>\mathbb{N}</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>(2n)^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>4n^2</math> = <math>2q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>2n^2</math> = <math>q^2</math> <br />
<math>\Rightarrow</math> q ist ebenfalls gerade <math>\Rightarrow</math> p und q sind nicht teilerfremd. <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>\frac{p^2}{q^2}</math> ist kürzbar. <br />
<math>\Rightarrow</math> <math>\sqrt{2}</math> = irrational <br />

Aktuelle Version vom 31. Oktober 2019, 07:48 Uhr

Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational

Annahme: 2 ist rational.
d.h. 2=pq,p,q∈ℕ.

Beweis durch Widerspruch.
Annahme: 2 = rational

D.h. ∃ p,q ∈ ℕ : pq = 2 , mit p,q sind teilerfremd.

⇒ p2q2 = 2
⇒ p2 = 2q2
p2 ist gerade. ⇒ p=2n, mit n ∈ ℕ
⇒ (2n)2 = 2q2
⇒ 4n2 = 2q2
⇒ 2n2 = q2
⇒ q ist ebenfalls gerade ⇒ p und q sind nicht teilerfremd.
⇒ p2q2 ist kürzbar.
⇒ 2 = irrational

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