Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

Aufgabe 14.1

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck. $l_c$ sei die Lotgerade des Lotes von $C$ auf $AB$. $l_a$ sei die Lotgerade des Lotes von $A$ auf $BC$ und $l_b$ sei die Lotgerade des Lotes von $B$ auf $AC$. Man beweise: $l_c,l_a$ und $l_b$ haben genau einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 14.1

Aufgabe 14.2

Es sei $P$ ein Punkt aus dem Inneren des Winkels $\alpha$. Man beweise: $P$ ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden $w$ von $\alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\alpha$ jeweils ein und denselben Abstand hat.

Lösung von Aufgabe 14.2

Aufgabe 14.3

Das Euklidische Parallelenaxiom findet man in einigen Lehrbüchern in der folgenden Formulierung: Zu jedem Punkt $P$ außerhalb einer Geraden $g$ gibt es genau eine Gerade $h$ mit $P\in g\wedge h\Vert g$. Warum genügt diese Formulierung des Euklidischen Parallelenaxioms nicht den Anforderungen, die an Axiome zu stellen sind?

Lösung von Aufgabe 14.3

Aufgabe 14.4

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $\overline{ABCD}$.

Lösung von Aufgabe 14.4