Lösung von Aufgabe 14.4
Aufgabenstellung
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
Man beweise: Wenn ein Viereck $ {\overline {ABCD}} $ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $ {\overline {ABCD}} $.
Versuch 1
Voraussetzung
- Viereck $ {\overline {ABCD}} $
- Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): $ {\overline {ABCD}} $ ist konvex.
- Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
- Es gilt (oBdA): $ {\overline {AB}}\cong {\overline {AD}}\land {\overline {DC}}\cong {\overline {BC}} $
- nach Skizze: $ \ {\overline {AC}}\cap {\overline {DB}}={S} $
- An sich müsste bewiesen werden, dass $ {\overline {AC}} $ und $ \ {\overline {DB}} $ sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass $ \ D $ und $ \ B $ in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden $ \ AC $ liegen.
Behauptung
$ |AS|=\ |SC|\lor |BS|=|DS| $
- Erklärung zu dieser Behauptung: wenn $ \ S\in {\overline {AC}}\land \ S\in {\overline {DB}} $ (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | $ {\overline {ADC}}\cong {\overline {ABC}} $ | Dreieckskongruenz durch SSS
|
| (II) | $ w_{a}\in {\overline {AC}} $ ($ \ w_{a} $ ist Winkelhalbierende des Winkels $ \ \alpha $ | (I), Dreieckskongruenz: $ \ \alpha _{1}\cong \alpha _{2} $ |
| (III) | $ S\in w_{a} $ | (II), $ S\in {\overline {AC}} $ (VSS) |
| (IV) | $ {\overline {ADS}}\cong {\overline {ABS}} $ | Dreieckskongruenz durch SWS
|
| (V) | $ |BS|\cong |DS| $ | (IV) |
Die Diagonale $ \ {\overline {DB}} $ wird durch die Diagonale $ \ {\overline {AC}} $ halbiert! --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2
Voraussetzung
Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC
Behauptung
Strecke AC halbiert die Strecke DB
Beweis
Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B.
Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB.
Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.
Kleine Anmerkung: habe diese Lösung von Sefamerve an die Beschriftung der Skizze angepasst, damit der Weg der beiden Lösungen an der Skizze verglichen werden kann. --Heinzvaneugen 01:50, 28. Jul. 2010 (UTC)
Zusatz-Aufgabe
Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!
Möglichkeit 1: Aufgabenteil 1 mithilfe der Lösung von Sefamerve) angehen, denn in der Beweisführung wird genau damit argumentiert, dass $ \ AC $ die Mittelsenkrechte von $ {\overline {DB}} $ sei und die ist ja lt. Definition senkrecht zu $ {\overline {DB}} $.
Möglichkeit 2: tbc
