Lösung von Aufgabe 14.4

Aufgabenstellung

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $\overline{ABCD}$.

Versuch 1

Voraussetzung

• Viereck $\overline{ABCD}$
• Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): $\overline{ABCD}$ ist konvex.

Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.

• Es gilt (oBdA): $\overline{AB}\cong \overline{AD}\wedge \overline{DC}\cong \overline{BC}$
• nach Skizze: $\overline{AC}\cap \overline{DB}=S$

An sich müsste bewiesen werden, dass $\overline{AC}$ und $\overline{DB}$ sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass $D$ und $B$ in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden $AC$ liegen.

Behauptung

$|AS|=|SC|\vee |BS|=|DS|$

Erklärung zu dieser Behauptung: wenn $S\in \overline{AC}\wedge S\in \overline{DB}$ (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{ADC}\cong \overline{ABC}$	Dreieckskongruenz durch SSS $\overline{AB}\cong \overline{AD}$ nach VSS $\overline{DC}\cong \overline{BC}$ nach VSS $\overline{AC}\equiv \overline{AC}$ trivial
(II)	$w_a\in \overline{AC}$ ($w_a$ ist Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$	(I), Dreieckskongruenz: ${\alpha }_1\cong {\alpha }_2$
(III)	$S\in w_a$	(II), $S\in \overline{AC}$ (VSS)
(IV)	$\overline{ADS}\cong \overline{ABS}$	Dreieckskongruenz durch SWS $\overline{AB}\cong \overline{AD}$ nach VSS ${\alpha }_1\cong {\alpha }_2$ (I) $\overline{AS}\equiv \overline{AS}$ trivial
(V)	$|BS|\cong |DS|$	(IV)

Die Diagonale $\overline{DB}$ wird durch die Diagonale $\overline{AC}$ halbiert!

Versuch 2

Voraussetzung

Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC

Behauptung

Strecke AC halbiert die Strecke DB

Beweis

Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.

Zusatz-Aufgabe

Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!