Lösung von Aufg. 11.3

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

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Voraussetzung:Es sei eine Strecke $\overline{AB}$ und ein Punkt P mit $\overline{PA}\cong \overline{PB}$

Behauptung: $P\in m$ , m ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Fall 1: koll(A,B,P)
Fall 2: nkoll(A,B,P)

Beweis zu Fall 1

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	P ist Mittelpunkt von $\overline{AB}$	Vor.($\overline{PA}\cong \overline{PB}$),Def.III.1 (Mittelpunkt)
(II)	$P\in m$	I, Def VI.1(Mittelsenkrechte)

Beweis zu Fall 2

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\mathrm{△}ABP$ ist gleichschenklig	Vor.($\overline{PA}\cong \overline{PB}$), Def.VII.4 (gleichschenkliges Dreieck)
(II)	$\mathrm{\angle }PBA\cong \mathrm{\angle }BAP$	I, Satz VII.5 (Basiswinkelsatz)
(III)	$\mathrm{\exists }!M\in \overline{AB}:\overline{MA}\cong \overline{MB}$	Satz III.1(Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts), Def.III.1 (Mittelpunkt)
(IV)	$\mathrm{△}AMP\cong \mathrm{△}MBP$	II, III, Vor.($\overline{PA}\cong \overline{PB}$), Axiom V (SWS)
(V)	$\mathrm{\angle }PMA\cong \mathrm{\angle }BMP$	IV, Def.VII.3 (Dreieckskongruenz)
(VI)	$\mathrm{\angle }PMA,\mathrm{\angle }BMP$ sind Nebenwinkel	IV, Def.V.4 (Nebenwinkel)
(VII)	$|\mathrm{\angle }PMA|=|\mathrm{\angle }BMP|=90^{\circ }$	V, VI, Def V.6 (rechter Winkel)
(VIII)	$\overline{MP}\mathrm{\perp }\overline{AB}$	VII, Def.V.9 (noch mehr Senkrecht)
(IX)	$\overline{MP}\subset m$	III, VIII, Def.VI.1 (Mittelsenkrechte)
(X)	$P\in m$	IX

qed.

--Studentxyz 17:58, 17. Jan. 2011 (UTC)

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