Tut Aufgabe 8.2.(SoSe 11)

Im Tutorium fragten wir uns heute, wie genau ein Beweis geführt werden muss. Hier mal einige Aufführungen: (diese Seite entsteht gerade!)

Satz: Es existieren min. 6 paarweise verschiedene Geraden.
Vor.: geltende Inzidenzaxiome
Beh.: A. Es existieren 6 Geraden und B. diese sind paarweise verschieden.

A.

Beweisschritt	Begründung
1) Es gibt vier Punkte A,B,C,D, für die gilt nkomp(A,B,C,D).	Axiom I.7
2) Es exisiteren folgende Geraden: AB, BC, CD, DA, AC, BD	Axiom I.1 und 1)

B. indirekter Beweis
Annahme: Wir nehmen an,(min.) zwei Geraden sind identisch. o.B.d.A AB=BC

Beweisschritt	Begründung
1) koll(A,B,C)	Annahme, Def. kollinear
2) Es exisitert eine Ebene E, die A,B und D enthält.	Axiom I,4 und Fall1 nkoll (A,B,D)*
3) C $\in$ AB	1)
4) C $\in$ E	2) und 3) Axiom I.5
5) komp (A,B,C,D)	2) und 4) Def. komplanar
Widerspruch zum Schritt A.1	Die Annahme ist zu verwerfen!

• Fall 2: koll(A,B,D)

Beweisschritt	Begründung
1) koll(A,B,C) und koll (A,B,D)	Fall2
2) koll (A,B,C,D)	1)
3) Es exisitert ein Punkt F für den gilt: nkoll(A,B,F)	I.3
4) Es existiert ein Ebene H, die A,B,F enthält.	Axiom I.4
5) C,D $\in$ H	2) und 4)
6) komp (A,B,C,D)	2) und 4)
Widerspruch zum Schritt A.1	Die Annahme ist zu verwerfen!

Es exisiteren 6 paarweise verschiedene Geraden. q.e.d.