Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$t\cap k=\{A\}\Rightarrow MA\perp t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $t\cap k=\{A\}$
Behauptung: $MA\perp t$

Annahme: $MA\perp ̸t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. $\mathrm{(}Zw)(C,B,A)$ und $|CB|=|BA|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$|\mathrm{\angle }MBA|=|\mathrm{\angle }MBC|=90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA}\cong \overline{MBC}$	SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $\overline{MB}$ zu sich selbst kongruent ist.
5	Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) $|MC|=|MA|=r$ nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--Tutorin Anne 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)

Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --Flo60 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}\Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST): Wenn in der Voraussetzung steht: ::$MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}$, heißt das dann nicht schon, dass es nur einen Schnittpunkt von t und k gibt? Vermutlich ist aber genau das zu beweisen, denn dass eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt schneidet, Tangente heißt, ist doch Definition und nicht Satz. Vielleicht wäre ::$MA\perp t\wedge \{A\}\in k\cap t$ besser in der Voraussetzung? [Einschub von --WikiNutzer 13:21, 26. Jul. 2011 (CEST) Ende]

Voraussetzung: $MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S\ne A\wedge t\cap k=\{S\}$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left|MA\right|=\left|MS\right|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$|\mathrm{\angle }MAS|=|\mathrm{\angle }MSA|=90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST) Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--Tutorin Anne 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)