Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 P (SoSe 12)

Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden $O{A}^{+}$ und $O{A}^{-}$ :
a)$O{A}^{+}\cap O{A}^{-}=\{O\}$ und
b)$O{A}^{+}\cup O{A}^{-}=g$

a)$O{A}^{+}\cap O{A}^{-}=\{O\}$

$O{A}^{+}=\{P|(Zw)(O,P,A)\}\cup \{P|(Zw)(O,A,P)\}\cup \{O\}\cup \{A\}$
$O{A}^{-}=\{P|(Zw)(P,O,A)\}\cup \{O\}$
in der schnittmenge gibt es nur ein gemeinsames element: "o"

• es ist noch zu beweisen, dass keine weiteren Punkte außer O in der Schnittmenge liegen. Dies lässt sich am einfachsten indirekt beweisen.--Tutorin Anne 17:13, 27. Mai 2012 (CEST)

muss es noch bewiesen werden? wir wissen doch, dass alle drei zwischenrelationen disjunkt sind...--Studentin 17:58, 27. Mai 2012 (CEST)

b)$O{A}^{+}\cup O{A}^{-}=g$

$O{A}^{+}=\{P|(Zw)(O,P,A)\}\cup \{P|(Zw)(O,A,P)\}\cup \{O\}\cup \{A\}$
$O{A}^{-}=\{P|(Zw)(P,O,A)\}\cup \{O\}$
in der vereinigungsmenge ist die gerade g, da in der vereinigungsmenge sowohl die punkte a und o, als auch alle punkte zw (a,o,p), zw (p,o,a), zw (o,p,a) enthalten sind.
--Studentin 16:35, 27. Mai 2012 (CEST)