Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $(V_1,\oplus ,\mathbb{ℝ},\cdot )$ und $(V_2,\otimes ,\mathbb{ℝ},\odot )$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\phi :V_1\to V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\mathrm{\forall }\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V_1\wedge \mathrm{\forall }a\in \mathbb{ℝ}:$ (H) $\phi$ ist homogen: $\phi (a\cdot \overrightarrow{u})=a\odot \phi \left(\overrightarrow{u}\right)$ (A) $\phi$ ist additiv: $\phi (\overrightarrow{u}\oplus \overrightarrow{v})=\phi \left(\overrightarrow{u}\right)\otimes \phi \left(\overrightarrow{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\phi :{\mathbb{ℝ}}^3\to {\mathbb{ℝ}}^2$ $\mathrm{\forall }\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):\phi \left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ Man beweise: $\phi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehungsmatrix: <math>\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} Geradenspiegelung Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.