Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13

Aufgabe 6.07 Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $A,B$ und $C$ gilt: Wenn $C\in A{B}^{+}$ und $\left|AB\right|<\left|AC\right|$ dann gilt $\mathrm{Z}w(A,B,C)$ Lösung User --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) z.z.: $C\in A{B}^{+}\wedge \left|AB\right|<\left|AC\right|\Rightarrow Zw(A,B,C)$ 1.Voraussetzung: $C\in A{B}^{+}$ 2.Voraussetzung: $\left|AB\right|<\left|AC\right|$ (*) Behauptung: Zw(A,B,C) Beweis: $C\in A{B}^{+}$ $\Rightarrow$ Zw(A,B,C) $\vee$ Zw(A,C,B) [s. Def. Halbgerade] nun z.z.: $\mathrm{\neg }Zw(A,C,B)$ Annahme: Zw(A,C,B) $\iff$ $\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|\iff \left|AC\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|$ (**) (s. Axiom II.2) aus (*) und (**) folgt: $\left|AB\right|<\left|AC\right|\iff \left|AC\right|+\left|BC\right|<\left|AC\right|\iff \left|BC\right|<0\Rightarrow$ Widerspruch zu Axiom II.1 (Der Abstand zwei beliebiger Punkte ist nie negativ.) Daher gilt: Zw(A,B,C) q.e.d. --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) Lösung User ... Lösung User ... zurück zu Serie 6 SoSe 2013