Lösung von Aufgabe 6.07 S SoSe 13

Aufgabe 6.07 Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $ \ A,B $ und $ \ C $ gilt: Wenn $ C\in \ AB^{+} $ und $ \left|AB\right|<\left|AC\right| $ dann gilt $ \operatorname {Z} w(A,B,C) $ Lösung User --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) z.z.: $ C\in \ AB^{+}\wedge \left|AB\right|<\left|AC\right|\Rightarrow Zw(A,B,C) $ 1.Voraussetzung: $ C\in \ AB^{+} $ 2.Voraussetzung: $ \left|AB\right|<\left|AC\right| $ (*) Behauptung: Zw(A,B,C) Beweis: $ C\in \ AB^{+} $ $ \Rightarrow $ Zw(A,B,C) $ \vee $ Zw(A,C,B) [s. Def. Halbgerade] nun z.z.: $ \neg Zw(A,C,B) $ Annahme: Zw(A,C,B) $ \Leftrightarrow $ $ \left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|\Leftrightarrow \left|AC\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right| $ (**) (s. Axiom II.2) aus (*) und (**) folgt: $ \left|AB\right|<\left|AC\right|\Leftrightarrow \left|AC\right|+\left|BC\right|<\left|AC\right|\Leftrightarrow \left|BC\right|<0\Rightarrow $ Widerspruch zu Axiom II.1 (Der Abstand zwei beliebiger Punkte ist nie negativ.) Daher gilt: Zw(A,B,C) q.e.d. --Illu13 21:07, 6. Jun. 2013 (CEST) Lösung User ... Lösung User ... zurück zu Serie 6 SoSe 2013