Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

Voraussetzung	$Sg$ mit $A^{\prime }=Sg(A)$ und $B^{\prime }=Sg(B)$ und $P\in A{B}^{+}$
Behauptung	$Sg(AB+)=A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$ d.h. $P^{\prime }\in A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$

Beweisschritt	Begründung
1 $P\in A{B}^{+}$	Voraussetzung
2 $P\in \overline{AB}\cup \{P|ZW(A,B,P)\}$	1), Def Halbgerade
3 $P\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$	Streckentreue
4 $P\in \overline{AB}+\overline{BP}=\overline{AP}$	Def Zwischen
5 $P\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overline{B^{\prime }{P}^{\prime }}=\overline{A^{\prime }{P}^{\prime }}$	Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
6 $P^{\prime }\in \overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}\cup \{P^{\prime }|ZW(A^{\prime },B^{\prime },P^{\prime })\}$	Def Zwischen 3), 5)
7 $P^{\prime }\in A^{\prime }B{\text{'}}^{+}$	Def Halbgerade 6)

--Regenschirm 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST) Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--Tutorin Anne 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST)

Voraussetzung:
AB+ ≔ {P | Zw(A,P,B) ∧ Zw(A,B,P)} ∪ {A,B}
mit A ≠ B, A,B ∈ Ebene E

A͞B := {P | Zw(A,P,B)} ∪ {A,B}
mit A ≠ B, A,B ∈ Ebene E
--Nolessonlearned 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung: AB+ ≌ A'B'+
--Nolessonlearned 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	B'= Sg(B)	Eigenschaft d. GS
2)	A'= Sg(A)	Eigenschaft d. GS
3)	$\overline{AB}\widetilde{=}\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$	(1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS
4)	$\overline{AB}istTeilmengevonA{B}^{+}$	Voraussetzung; Def. Halbgerade
5)	$Element$	(1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Streckentreue d. GS
6)	$Element$	(4); (5); q.e.d.

--Nolessonlearned 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)