Lösung von Aufgabe 7.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

Lösung --Schnirch 10:14, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset A{B}^{+}$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^{*}\in A{B}^{+}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$	Axiom III.1
(I)	$\overline{A{B}^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(II)	$\left|A{B}^{*}\right|<\left|AB\right|$	Rechnen in $\mathbb{ℝ}$ und $\frac{1}{\pi }$ < 1
(III)	$\mathrm{Zw}(A,B^{*},B)$	(III), Def. Zw
(VI)	$\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$	(IV)