Lösung von Aufgabe 7.2
Aus Geometrie-Wiki
Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $ {\overline {AB}} $ existiert genau eine Strecke $ {\overline {AB^{*}}} $ mit $ \left|AB^{*}\right|={\frac {1}{\pi }}\left|AB\right| $ und $ {\overline {AB^{*}}}\subset {\overline {AB}} $.
Lösung --Schnirch 10:14, 1. Jul. 2010 (UTC)
Voraussetzung: Strecke $ {\overline {AB}}\subset AB^{+} $
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $ {\overline {AB^{*}}} $ mit $ \left|AB^{*}\right|={\frac {1}{\pi }}\left|AB\right| $ und $ {\overline {AB^{*}}}\subset {\overline {AB}} $
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) | es ex. genau ein Punkt $ B^{*}\in AB^{+} $ mit $ \left|AB^{*}\right|={\frac {1}{\pi }}\left|AB\right| $ | Axiom III.1 |
| (I) | $ {\overline {AB^{*}}} $ existiert und ist eindeutig | (I), Def. Strecke |
| (II) | $ \left|AB^{*}\right|<\left|AB\right| $ | Rechnen in $ \mathbb {R} $ und $ {\frac {1}{\pi }} $ < 1 |
| (III) | $ \operatorname {Zw} \left(A,B^{*},B\right) $ | (III), Def. Zw |
| (VI) | $ {\overline {AB^{*}}}\subset {\overline {AB}} $ | (IV) |
