Lösung von Aufg. 7.3P (WS 13/14)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\{\}$

(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit $\overline{AD}\cap g=\{\}$ und nutzen Sie den Satz von Pasch)

Verstehe nicht wirklich warum wir noch den vierten Punkt D brauchen. Man kann auch ohne den zusätzlichen Punkt zeigen, dass die Behauptung stimmt.

Voraussetzung: $\overline{AB}\cap g=\{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}$

Behauptung: $\overline{AC}\cap g=\{\}$
Annahme: $\overline{AC}\cap g=\{\}$

Nr.	Schritt	Begründung
1.	$\overline{AC}\cap g=\{\}$	Annahme
3.	Wenn die Gerade g eine Seite schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere Seite des Dreiecks. Gerade g schneidet entweder $\overline{AB}$ oder $\overline{BC}$	Satz von Pasch
4.	$\overline{AB}\cap g=\{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}$	Voraussetzung
5.	Die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung stimmt.	3),4)

--Picksel (Diskussion) 11:05, 18. Jun. 2014 (CEST)